Производная по направлению. Градиент

Производная по направлению некоторого вектора характеризует скорость изменения функции в точке вдоль этого вектора.

Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по направлению , где ; – длина вектора , причем

где значения частных производных , вычисляются в точке .

Вектор с координатами , характеризующий направление максимального роста функции в точке , называют градиентом функции в этой точке и обозначают .

Производная по направлению и градиент связаны соотношением

Для функции трех переменных направление задается вектором , где – углы между вектором и положительными направлениями осей , , , а называют направляющими косинусами вектора .

Тогда

где есть вектор с координатами

Пример 5.1. Для функции найти градиент и производную по направлению вектора в точке .

Решение. Найдем координаты вектора в точке согласно определению .

Вычислим частные производные и найдем их значения в точке :

.

Таким образом, .

Длину вектора определим по формуле

,

Тогда, учитывая найденные координаты вектора, получим

.

Далее найдем производную в точке по направлению вектора . Как известно,

,

,

где .

Тогда производная по направлению вектора в точке равна

.

5.1. Верно ли следующее утверждение: градиентом функции в точке является вектор ?

Найти производную функции по направлению вектора в точке , если:

5.2. .

5.3. .

Найти производную функции в точке по направлению вектора , если:

5.4. .

5.5. .

5.6. Показать, что в точке угол между градиентами функций

и

,

где – константы, а стремится к нулю, если точка удаляется в бесконечность.

5.7. Решить уравнение , если

.

5.8. Найти наибольшее значение производной в точке , если

.

Ответы: 5.1. Неверно. 5.2. . 5.3. . 5.4. . 5.5. . 5.7. , , . 5.8. .