Замена переменных

Рассмотрим несколько способов дифференциальных замен.

1. Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные. Пусть в дифференциальном выражении

требуется перейти к новым переменным: независимой переменной и функции , связанным с прежними переменными и уравнениями

.

Дифференцируя эти уравнения, имеем:

Аналогично выражаются производные высших порядков В результате получаем

.

2. Замена независимых переменных в выражении, содержащем частные производные. Если в дифференциальном выражении

положить , где и – новые независимые переменные, то последовательные частные производные определяются из следующих уравнений:

Последовательно дифференцируя эти уравнения, получают производные высших порядков.

3. Замена независимых переменных и функции в выражении, содержащем частные производные. В общем случае, если имеем уравнения

,

где и – новые независимые переменные, – новая функция, то для частных производных получаем такие уравнения:

Производные высших порядков получают последовательным дифференцированием этих уравнений.

Пример 7.1. Найти якобиан отображения

.

Решение. Так как

,

то

.

Пример 7.2. Преобразовать выражение к новым переменным, если .

Решение. Найдем частные производные и , используя частные производные функции по переменным и . Продифференцируем обе части равенства по переменным и :

;

Следовательно,

.

Выразим и через новые переменные. Так как . Тогда исходное уравнение примет вид

.

7.1. Преобразовать уравнение , приняв за функцию и – за независимое переменное.

Введя новые переменные, преобразовать следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:

7.2. , если .

7.3. , если .

7.4. , если , где .

7.5. , если и , где .

7.6. Преобразовать к полярным координатам и , полагая , , следующее уравнение: .

7.7. Преобразовать к полярным координатам выражение .

7.8. Преобразовать выражение , введя новые функции , .

7.9. Введя новые независимые переменные и , решить следующее уравнение: , если и .

7.10. Приняв u и v за новые независимые переменные, преобразовать следующее уравнение: , если и .

7.11. Преобразовать выражение , приняв за новые независимые переменные , .

7.12. Преобразовать выражение , приняв x за функцию, а , – за независимые переменные.

Перейти к новым переменным u, v, w, где , в следующих уравнениях:

7.13. , если , , .

7.14. , если , , .

Преобразовать к полярным координатам r и , полагая , , следующие выражения:

7.15. .

7.16. .

7.17. .

Приняв u и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения:

7.18. , если и .

7.19. , если и .

7.20. Показать, что уравнение не меняет своего вида при замене переменных и .

Приняв u и v за новые независимые переменные и за новую функцию, преобразовать следующие уравнения:

7.21. , если , , .

7.22. , если , , .

7.23. Найти в точке дифференциал отображения .

7.24. Найти в точке (0;0) производную отображения и исследовать его на дифференцируемость в этой точке:

1) ;
2) .

7.25. Найти якобиан отображения:

1) ;

2) .

Ответы: 7.1. . 7.2. . 7.3. . 7.4. . 7.5. . 7.6. . 7.7. . 7.8. . 7.9. . 7.10. . 7.11. . 7.12. . 7.13. . 7.14. . 7.15. .

7.16. . 7.17. . 7.18. .

7.19. . 7.21. . 7.22. .

7.23. . 7.24. 1) , дифференцируемо; 2) , недифференцируемо. 7.25. 1) ; 2) .

§ 8. Геометрические приложения

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :

Уравнение нормали к поверхности в точке :

Нормаль – это прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке .

Если функция задана неявно , то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке запишется следующим образом:

.

Уравнение нормали

.

Это уравнение прямой в каноническом виде, известном из курса аналитической геометрии.

Пример 8.1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности : в точке .

Решение. Запишем уравнение поверхности в неявном виде:

.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :

.

Найдем частные производные в точке :

.

Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

, или .

Уравнение нормали к поверхности :

,

.

Написать уравнения касательных прямых и нормальных плоскостей в данных точках к следующим кривым:

8.1. , , , в точке .
8.2. , , в точке .
8.3. , , в точке .

8.4. Доказать, что касательная к винтовой линии , , образует постоянный угол с осью .

8.5. Доказать, что кривая , , пересекает все образующие конуса под одним и тем же углом.

8.6. Найти производную функции в точке в направлении касательной в этой точке к кривой , .

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

8.7. , .	8.8. , .
8.9. , .
8.10. , , , .

8.11. На поверхности найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.

8.12. Найти огибающую кривую однопараметрического семейства плоских кривых: .

8.13. Найти огибающую кривую эллипсов , имеющих постоянную площадь S.

8.14. Найти огибающую кривую семейства шаров

,

где и t – переменный параметр.

Ответы: 8.1. . 8.2. ; . 8.3. . 8.6. .

8.7. . 8.8.

. 8.9. .

8.10. . 8.11. . 8.12. .

8.13. . 8.14.

.