Производная сложной функции

Производную сложной функции рассмотрим на примере функции двух переменных.

Пусть на множестве определена сложная функция , где , , и пусть функции , имеют в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные, а функция имеет непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки , где , . Тогда сложная функция дифференцируема в точке и её частные производные вычисляются по следующим формулам:

В частности, если функция является функцией двух переменных, которые в свою очередь есть функции одной переменной , , то производная вычисляется по формуле

.

Пример 4.1. Найти частные производные функции , где .

Решение. Имеем

Пример 4.2. Найти производные и функции , где , .

Решение. Используем правило дифференцирования сложной функции:

, .

Найдем все частные производные, входящие в данные равенства:

.

Тогда частные производные сложной функции запишутся следующим образом:

;

.

Подставив функции и в найденные выражения, окончательно получим:

;

.

Доказать, что если – произвольная дифференцируемая функция, то функция удовлетворяет следующему уравнению:

4.1. .

4.2. .

4.3. .

Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:

4.4. .

4.5. .

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложных функций:

4.6. , где .	4.7. , где .
4.8. .

4.9. , где .

Найти , если:

4.10. .

4.11. .

4.12. Показать, что функция ( и – постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа

.

4.13. Показать, что функция ( и – постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности

.

4.14. Упростить выражение , если

, где – дифференцируемая функция.

4.15. Пусть

и

.

Доказать, что

.

Предположив, что произвольные функции дифференцируемы достаточное число раз, проверить следующие равенства:

4.16. , если .

4.17. , если .

4.18. , если .

Ответы: 4.4. ; ;

; ;

.

4.6. , . 4.7. ,

. 4.10. . 4.14. .