Основные методы интегрирования. 7.4.1. Непосредственное интегрирование

7.4.1. Непосредственное интегрирование

Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличной форме.

Пример. Найти интегралы:

1) .

Решение. На основании свойств 3 и 4 неопределенного интеграла и таблицы интегралов имеем

2) .

Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:

3) .

7.4.2. Метод подстановки (замена переменной)

Этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному из табличных.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) , где t – новая переменная, а φ (t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда формула замены переменной

2) , t – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Пример. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

1) .

Решение. Введем подстановку t = x ³+5. Тогда dt = d (x ³+5); dt =3 x ² dx. Отсюда x ² dx = dt /3. Таким образом,

Ответ должен быть выражен через «старую» переменную х. Подставляя в результат интегрирования t = x ³+5. Окончательно получим .

2) .

Решение.

Условимся в дальнейшем все промежуточные рассуждения и выкладки заключать в вертикальные скобки (как было сделано в примере 2).

7.4.3. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

, (6.4.1)

где u и v непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (6.4.1) нахождение интеграла сводится к нахождению другого интеграла . Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример. При нахождении интеграла , полагая u = x –5, dv = cos xdx, найдем du = dx, . Следовательно, применяя формулу (6.4.1), получим