2015-03-07
509
№1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Решение.
а) Почленно поделив числитель подынтегральной дроби на знаменатель, будем иметь
.
Тогда 
б) Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла, тем самым сводя исходный интеграл к сумме табличных интегралов:
в) 
г) 
.
Здесь мы воспользовались свойством 5 неопределенного интеграла и формулой 4 пункта 7.3.
№2. Найти интегралыметодом подстановки:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Решение.
а) 
б) 
в) 
г) 
№3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:
а) 
;
б) 
.
Решение.
а) Положим 
, откуда 
. Тогда по формуле (6.4.1) находим
б) 
(*)
К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. Положим 
, тогда 
, следовательно,
Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим
Варианты заданий
№7.1. Найти интегралы непосредственным интегрированием:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж)
з) 
;
и) 
;
к) 
;
л) 
;
м) 
.
№7.2. Найти интегралы методом подстановки:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
;
к) 
;
л) 
;
м) 
.
№7.3. Найти интегралы с помощью метода интегрирования по частям:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
;
к) 
.
Контрольные вопросы
1. Что такое первообразная? Обладают ли первообразные одной функции свойством единственности?
2. Дайте определение, в том числе виде математического выражения, неопределенного интеграла.
3. Что такое подынтегральная функция? Подынтегральное выражение?
4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. Запишите эти свойства в виде математических выражений.
5. Воспроизведите таблицу основных интегралов. Докажите справедливость записанных выражений с использованием операции дифференцирования.
6. В чем заключается метод замены переменной в определенном интеграле? метод интегрирования по частям?
7. Какие функции в подынтегральном выражении рекомендуется выбирать в качестве и и dv при интегрировании по частям?
8. Назовите основные типы интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям.
9. Что называется рациональной дробью? Как выделить из неправильной рациональной дроби и правильную дробь? Как разложить правильную дробь на сумму простейших?
