Метод Эйлера

Известно, что уравнение задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке.

Если взять последовательность точек х ₀, х ₁, х ₂, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию (рис. 11.1).

При подстановке заданных начальных условий (х ₀, у ₀ ) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке

.

Заменив на отрезке [ x ₀, x ₁ ] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение

.

Производя аналогичную операцию для отрезка [ x ₁, x ₂ ], получаем:

.

Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.

Можно записать общую формулу вычислений:

.

Если последовательность точек х_i выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле вместо значения берется среднее арифметическое значений f (x ₀, y ₀ ) и f (x ₁, y ₁ ). Тогда уточненное значение:

Затем находится значение производной в точке . Заменяя f (x ₀, y ₀ ) средним арифметическим значений f (x ₀, y ₀ ) и , находят второе уточненное значение у ₁:

,

Затем третье:

,

и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М ₁ ломаной Эйлера.

Аналогичная операция производится для остальных значений у.

Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.