Сложные функции

Пусть даны две функции: у = f(z), определенная на множестве z, и z =g(x), определенная на множестве х. Если ; то на множестве Х можно определить функцию, которая каждому поставит в соответствие . Тогда на множестве Х определена функция . Эта функция называется сложной функцией х или суперпозицией (наложением) функций f и g.

Областью определения сложной функции является либо вся область определения функции z = g (x), либо та ее часть, в которой определены значения z, не выходящие из области определения f(z). Например, пусть . Функция определена на всей числовой оси, функция также определена на всей числовой оси. Суперпозиция этих функций является сложной функцией х, определенной на всей числовой оси.

При рассмотрении сложных функций следует иметь в виду области определения составляющих функций. Например, из функций и нельзя образовывать сложную функцию, так как функция y = arcсos z определена для , а функция , т.е. не принадлежит этому отрезку.

Можно рассматривать суперпозиции не только двух, но и трех, четырех, т.е. любого конечного числа функций.