Задать функцию означает установить правило (закон) с помощью которого по данным значениям независимой переменной находим соответствующие им значения функции. Рассмотрим различные способы задания функции.
1. Табличный способ. При этом способе в определенном порядке выписываются ряд значений независимой переменной и соответствующие им значения функции . Таковы, например, таблицы логарифмов, таблицы значений тригонометрических функций и т.д. Табличный способ очень распространен в технике, естествознании и т.п. Численные результаты последовательных наблюдений какого-либо процесса или явления выписываются в виде таблицы. Например, результаты измерений температуры воздуха на метеорологической станции за один день оформляются так:
t, ч | ||||||||||
Т, °С | -1 | -2 | -2,5 | -2 | -0,5 | 3,5 |
Эта запись определяет температуру Т как функцию от времени t: T = f (t). Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения функции сразу, без дополнительных изменений или вычислений. Недостатки: определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента; не дает наглядного изображения характера изменения функции с изменением аргумента.
2. Графический способ. Графиком функции y = f (x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Это может быть некоторая кривая, в частности прямая, множество точек на плоскости.
Преимущество – наглядность, недостаток – нет возможности точно определить значения аргумента. В технике и физике часто он является единственно доступным способом задания функции, например, при пользовании самопишущими приборами, которые автоматически записывают изменение одной величины относительно другой (барограф, термограф и др.).
3. Аналитический способ. По этому способу функция задается аналитически, с помощью формулы. Такой способ дает возможность по каждому численному значению аргумента х найти соответствующее ему численное значение функции у точно или с некоторой точностью.
При аналитическом способе функция может быть задана и несколькими разными формулами. Например, функция
задана в области определения [- , 15] с помощью трех формул.
Если зависимость между х и у задана формулой, разрешенной относительно у, т.е. имеет вид у = f (x), то говорят, что функция от х задана в явном виде, например, . Если же значения х и у связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно у, то говорят, что функция задана неявно. Например, . Заметим, что не всякую неявную функцию можно представить в виде у = f(x), наоборот, любую явную функцию всегда можно представить в виде неявной: . Еще одна разновидность аналитического задания функции – параметрическое, когда аргумент х и функция у являются функциями третьей величины – параметра t: , где , Т – некоторый промежуток. Такой способ широко применяется в механике, в геометрии.
Аналитический способ является самым распространенным способом задания функции. Компактность, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа, возможность вычисления значений функции при любых значениях аргумента – его основные преимущества.
4. Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Например, функция Е(х) – целая часть числа х, функция Дирихле, функция Римана, n!, r(n) – число делителей натурального числа n.
5. Полуграфический способ. Здесь значения функции представляются в виде отрезков, а значения аргумента – в виде чисел, проставленных на концах отрезков, указывающих значения функции. Так, например, в термометре есть шкала с равными делениями, у которых проставлены числа. Эти числа являются значениями аргумента (температуры). Они стоят на том месте, которое определяет графическое удлинение столбца ртути (значения функции) в связи с ее объемным расширением в результате температурных изменений.