Понятие функции. При исследовании различных явлений и процессов природы, решении технических задач, изучении математики

ВВЕДЕНИЕ

При исследовании различных явлений и процессов природы, решении технических задач, изучении математики, физики очень часто встречаются примеры изменения одной величины в зависимости от изменения другой – так называемой функциональной зависимости. Существуют различные способы задания функций: аналитический, словесный, табличный, но самым наглядным и наиболее распространенным является графический способ задания функции.

В средней школе изучаются в основном так называемые элементарные функции, построение графиков которых не составляет труда. При изучении высшей математики часто требуется знание большого числа самых разнообразных кривых и, что значительно важнее, умение строить их графики, исходя из их уравнений. Для построения кривых необходимо знать общие принципы и правила, пользуясь которыми можно нарисовать график данной линии. Ниже мы рассмотрим эти вопросы.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Понятие функции

Как известно, величины бывают переменные и постоянные. Например, при равномерном движении время и расстояние изменяются, а скорость остается постоянной; при нагревании газа в герметически закрытом сосуде давление и температура газа изменяются, а масса и объем не меняются.

При изучении разнообразных явлений природы, решении различных задач приходится рассматривать не столько переменные величины, взятые отдельно, сколько связь между ними, зависимость одной величины от другой.

В природе не существует переменных величин, которые изменялись бы изолированно, без связи с другими физическими величинами. Например, пройденный путь можно рассматривать с зависимости от изменения времени, т.е. путь является функцией от времени. Абстрагируясь от конкретных примеров зависимостей между конкретными величинами, в математике ввели понятие функциональной зависимости или функции.

Пусть даны два множества: Х и Y, элементами которых могут быть любые объекты, и допустим, что каждому элементу х множества Х по некоторому закону поставлен в соответствие один элемент множества Y, который обозначим у=f(x). Тогда f называется функцией из Х в Y (или отображением множества Х в Y). Таким образом, если задано отображение f множества Х в множество Y, то говорят, что на множестве Х определена функция f, которая принимает значения у=f(x) из множества Y. Множество Х называют областью определения функции f, а множество f(x) – множеством значений функции f. Очевидно, что f(x) Y. Переменную величину х называют независимой переменной или аргументом.