Метод непосредственного интегрирования является одним из основных методов.
Этот прием интегрирования применяется в том случае, если интеграл табличный или легко сводится к одному или нескольким табличным, путем использования свойств подынтегральной функции или следующих правил интегрирования:
1. ,
2. ,
где ¦ (х), - интегрируемые функции, k=const.
Пример 1. Найти .
Решение. Представляя интеграл от алгебраической суммы в виде суммы интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знаки интегралов и применяя формулы 1, 2 таблицы основных интегралов, получим
.
Замечание. Нет необходимости ставить произвольную постоянную после вычисления каждого интеграла, т.к. их сумма есть также произвольная постоянная, которую обозначают одной буквой и записывают в окончательный ответ.
Пример 2. Найти .
Решение. Возведём двучлен в квадрат и запишем каждое слагаемое в виде степенной функции, затем, произведя почленное деление и применив формулы 2, 3 таблицы основных интегралов, получим
|
|
.
Пример 3. Найти .
Решение. Заменив единицу в числителе выражением sin²x+cos²x и почленно разделив числитель на знаменатель, получим
.
Пример 4. Найти .
Решение. Прибавим и вычтем х² в числителе подынтегральной функции, вынесем за скобки х2 в знаменателе и почленно разделим числитель на знаменатель. Получим:
Пример 5. Найти .
Решение. Воспользуемся формулой тригонометрии . Тогда получим
.
2.5.4.2.Метод подстановки
Во многих случаях удаётся введением вместо х новой переменной t, связанной с х некоторым соотношением, свести к новому интегралу, который содержится в таблице или легко находится другим методом.
Этот метод получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.
Теорема: Пусть – непрерывная функция и дан интеграл . Вместо х введём новую переменную t, связанную с х соотношением , где – непрерывная, строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную . Тогда
На основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Пример 1. Найти .
Решение. Пусть , тогда .
Подставляя в исходный интеграл, получим: .
Пример 2. Найти
Решение. Пусть