Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций. Известно, что интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов, здесь существует более сложная зависимость.

Если u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции от х, то по правилу дифференцирования произведения имеем

интегрируя обе части, получим:

Выразим отсюда один из интегралов, стоящих в правой части:

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде двух сомножителей u и dv, затем посленахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использоваться несколько раз.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1) Интегралы вида

Удобно положить u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.

2) Интегралы вида

Удобно положить dv=P(x)dx, а за u обозначить все остальные сомножители.

3) Интегралы вида

Удобно положить u=e^ax

Пример 1. Найти ∫xsinxdx.

Решение.

Пример 2. Найти ∫ xlnxdx.

Пример 3. Найти

Решение.

Пример 4. Найти

Решение.

Нередко при вычислении интегралов использование повторного применения интегрирования по частям приводит снова к первоначальному интегралу. Получается уравнение, из которого и находится искомый интеграл. Такие интегралы принято называть возвратными

Пример 5. Найти

Решение.

Решим уравнение относительно неизвестного интеграла: