Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций. Известно, что интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов, здесь существует более сложная зависимость.
Если u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции от х, то по правилу дифференцирования произведения имеем
интегрируя обе части, получим:
Выразим отсюда один из интегралов, стоящих в правой части:
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде двух сомножителей u и dv, затем посленахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использоваться несколько раз.
Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1) Интегралы вида
Удобно положить u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.
2) Интегралы вида
Удобно положить dv=P(x)dx, а за u обозначить все остальные сомножители.
3) Интегралы вида
Удобно положить u=eax
Пример 1. Найти ∫xsinxdx.
Решение.
Пример 2. Найти ∫ xlnxdx.
Пример 3. Найти
Решение.
Пример 4. Найти
Решение.
Нередко при вычислении интегралов использование повторного применения интегрирования по частям приводит снова к первоначальному интегралу. Получается уравнение, из которого и находится искомый интеграл. Такие интегралы принято называть возвратными
Пример 5. Найти
Решение.
Решим уравнение относительно неизвестного интеграла: