Введение. Перенос тепла (энергии в форме теплоты Q) в твердых телах и газах описывается законом Фурье

Перенос тепла (энергии в форме теплоты Q) в твердых телах и газах описывается законом Фурье:

, (1)

где q(x) – поток тепла, l - коэффициент теплопроводности, - градиент температуры, характеризующий ее убывание при удалении от источника тепла. Знак «минус» означает, что перенос энергии через площадку S происходит в сторону меньших температур.

Коэффициент теплопроводности металлов меняется в широких пределах: от минимального (l ≈ 10 ) до максимального значения (у серебра l = 423 ), что значительно превышает коэффициент теплопроводности газов l_газа~ (10^-2 ÷ 10^-1) .

Процесс теплопроводности в твердых телах осуществляется путем взаимодействия колеблющихся ионов, образующих тело. Наиболее интенсивное колебание частиц, существующее в области повышенной температуры, передается соседним частицам, постепенно распространяясь на все тело.

Кроме того, теплопроводность в металлах значительно увеличивается благодаря наличию свободных электронов, которые могут перемещаться внутри металла, непосредственно перенося свою кинетическую энергию из области повышенной температуры в область более низкой. Важная роль свободных электронов в процессе теплопроводности подтверждается тем фактом, что теплопроводность металлов приблизительно пропорциональна их электропроводности.

Представим себе бесконечно длинный металлический стержень, один конец которого находится в печи (рис. 1).

Электроны и ионы, находящиеся в слое металла с координатой x вблизи печи, получают от неё дополнительную кинетическую энергию и передают её электронам и ионам соседнего слоя с координатой x+Dx. Стержень, получая тепло от печи, будет нагреваться. Одновременно с его поверхности часть тепла уносится воздушным потоком (конвекция). С течением времени устанавливается стационарное состояние, при котором распределение температуры вдоль стержня не меняется и имеет вид, показанный на рис.1.

Найдем уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры вдоль стержня.

Согласно (1) количество тепла, ежесекундно проходящее через сечение стержня S в точках x и (x +Dx), равно соответственно:

, (2)

радиатор Эл.печь S стержень T T = f (х) T0 0 х х+Dх х Рис. 1 Распределение температуры вдоль стержня.

Количество тепла, отдаваемое с поверхности отрезком стержня между этими координатами, прямо пропорционально разности температур:

dq = αP(T – T₀)dx, (3)

где a - коэффициент теплоотдачи металла, Р - периметр поперечного сечения стержня, Т, Т₀ - температуры элемента стержня и воздуха соответственно.

В условиях стационарного режима количество тепла, поступающего в стержень, равно количеству тепла, отдаваемого им в окружающую среду, т.е. dq = q(x) – q(x + dx) или в соответствии с (2) и (3):

(4)

Учитывая, что:

= ≈ ,

при (Δx→dx) получим из выражения (4) дифференциальное уравнение второго порядка:

, (5)

здесь:

(6)

Уравнение типа (5) имеет стандартное решение вида:

T−T₀ = Ae^ax + Be^-ax, (7)

где А и В - произвольные постоянные.

По мере удаления от печи (х®¥) температура стержня убывает, приближаясь к комнатной (Т®Т₀). Тогда уравнение (7) выполняется, если А = 0.

В начальной точке отсчета x = 0, Т = Т₁. Тогда из (7)
В = Т₁ - Т₀. С учетом полученных значений А и В уравнение (7) примет вид:

T−T₀ = (T₁−T₀)e^-ax (8)

После логарифмирования получим формулу распределения температуры вдоль стержня в виде:

(9)

Рассчитаем тепло, теряемое бесконечно длинным отрезком стержня ежесекундно. Используя (3) и (8), запишем:

dq = αP(T – T₀)dx = αP(T₁−T₀)e^-axdx,

и после интегрирования получим:

Согласно (6) αΡ = a²λS, тогда q = aλS(T₁–T₀), откуда:

Подставив a из (9), получаем формулу для расчета коэффициента теплопроводности металла:

(10)

В формулу (10) входит разность абсолютных температур (по шкале Кельвина). Однако она равна разности температур по шкале Цельсия, т.е. Т₁-Т₀ = t₁ – t₀.

Количество тепла, ежесекундно отдаваемое электропечью, вычисляется по формуле:

q = hN, (11)

здесь N - мощность печи, h - её к.п.д. (коэффициент полезного действия) при теплоотдаче.