Лекция №7. Метод наложения

Цель: Рас ширить знания студентов новыми методами расчета электрических цепей постоянного тока.

Задача: научить применять знания при расчетах сложных цепей постоянного тока. 2. Метод наложения.

Принцип наложения и метод наложения. Чтобы составить общее выражение для тока в k -ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы k -ветвь входила только в один k -контур (это всегда возможно). Тогда согласно (2.5) ток в k -ветви будет равен контурному току I_kk. Каждое слагаемое правой части (2.5) представляет собой ток, вызванный в k -ветви соответствующей контурной ЭДС. Например, E₁₁ Δ_k1/Δ есть составляющая тока k -ветви, вызванная контурной ЭДС E₁₁. Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей Е₁, E₂, E₃,..., E_k,..., E_n, сгруппировать коэффициенты при этих ЭДС и получить выражение следующего вида:

I_k = E₁g_k1 + E₂g_k2 +E₃g_k3 +... + E_kg_kk + E_ng_kn (2.7)

Если контуры выбраны таким образом, что какая-либо из ЭДС, например Е_m, входит только в один m -контур, а в другие контуры не входит, то g_km = Δ_km/Δ.

Уравнение (2.7) выражает собой принцип наложения.

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k -ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей.

Принцип наложения положен в основу метода расчета, получившего название метода наложения.

При расчете цепей данным методом поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока (Р = RI²).

Если через некоторое сопротивление R протекают согласно направленные частичные токи I₁ и I₂, то выделяемая в нем мощность Р = R(I₁ + I₂)² и не равна сумме мощностей от частичных токов: .

Пример 14. Для схемы рис. 2.14, а методом наложения найти токи в ветвях, определить мощности, отдаваемые в схему источником тока и источником ЭДС, полагая R₁ = 2 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃ = 6 Ом; J = 5 А; E = 20 В.

Решение. Положительные направления токов в ветвях принимаем в соответствии с рис. 2.14, a. С помощью схемы рис. 2.14, б (источник ЭДС удален, и зажимы cd закорочены) найдем токи в ветвях от действия источника тока:

Используя схему рис. 2.14, в, подсчитываем токи в ветвях от действия источника ЭДС (зажимы ab разомкнуты, так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности):

I''₁ = 0; I''₂ = I''₃ = E / (R₂ + R₃) = 2 A.

Результирующие токи в ветвях вычислим, алгебраически суммируя соответствующие частичные токи этих двух режимов:

I₁ = I'₁ + I''₁ = 5 + 0 = 5 A; I₂ = I'₂ - I''₂ = 3 - 2 = 1 A;

I₃ = I'₃ + I''₃ = 2 + 2 = 4 A; φ_a = φ_b + I₂R₂ + I₁R₁;

U_ab = 1·4 + 5·2 = 14 B.

Мощность, отдаваемая в схему источником тока, U_abJ = 14·5 = 70 Вт. Мощность, отдаваемая в схему источником ЭДС, EI₃ = 20·4 = 80 Вт.

Уравнение баланса мощности I²₁R₁ + I²₂R₂ + I²₃R₃ = U_abJ + EI₃.

Вопросы:

1. Какие преимущества метода контурных токов?
2. В каких случаях можно применять метод наложения?
3. Какие основные математические приемы используются для решения задач теории цепей?

Лекция №8. Метод эквивалентного генератора.

Цель: углубить знания студентов по методам расчета электрических цепей.

Задача: научить рассчитывать ток в одной из вервей цепи методом эквивалентного генератора.