Теорема взаимности

Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k -ветви, вызванный источником ЭДС Е_m находящимся в m -ветви, I_k = E_mg_km равен току l_m в m -ветви, вызванному источником ЭДС E_k (численно равной ЭДС E_m), находящимся в k -ветви, I_m = E_kg_mk.

Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис. 2.15,а. Как и при выводах в § 2.15, выделим две ветви схемы: ветвь k и ветвь m. Включим в ветвь m источник ЭДС Е_m, в ветвь k - амперметр А¹ для измерения тока I_k. Пусть каждая из ветвей k и m входит соответственно только в k- и m -контуры. Поэтому по методу контурных токов I_k = E_mΔ_km/Δ. Поменяем местами источник ЭДС и амперметр, т. е. источник ЭДС переместим из ветви m в ветвь k и назовем теперь E_k, а амперметр - из ветви k в ветвь m. В этом случае ток I_m = E_k Δ_mk/Δ. Так как E_k = Е_m, a Δ_mk = Δ_km в силу симметрии определителя системы Δ относительно главной диагонали, то ток I_k в схеме рис. 2.15, б равняется току I_m в схеме рис. 2.15, в.

При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в схемах рис. 2.15, б, в.

Так, если ЭДС E_k источника ЭДС, находящегося в k -ветви схемы рис. 2.15, в, направлена согласно с контурным током I_k в схеме рис. 2.15, б, то положительное направление отсчета для тока I_m в схеме рис. 2.15, в будет совпадать с положительным направлением контурного тока по ветви m (ЭДС Е_m в схеме рис. 2.15, в направлена по I_m).

Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыполнима. Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, называют необратимыми.

Пример 16. В схеме рис. 2.17 переключатели P₁, Р₂, Р_З и Р₄ могут находиться в первом или во втором положении. Если они находятся в положении 1 то в схеме включен только один источник ЭДС Е₄. Под действием ЭДС Е₄ протекают токи I₁ = 1,5 А, I₂ = ЗА, I₃ = 1А. Найти ток I₄, если все переключатели находятся в положении 2, полагая, что E₁ = 20 В, E₂ = 40 В, Е_З = 50 В, Е₄ = 10 В.

Решение. Для определения тока I₄ воспользуемся принципом наложения и принципом взаимности. Если бы в схеме был включен один источник ЭДС E₁ = 10 В, а остальные (E₂ и E₃)отсутствовали, то в ветви 4¹ но принципу взаимности протекал бы сверху вниз ток в 1,5 А. Так как ЭДС E₁ = 20 В, то в ветви 4 протекает ток, равный 1,5·20/10 = 3 А. Аналогичным образом найдем токи в ветви 4 при включении источников ЭДС E₂ и E₃ и произведем алгебраическое сложение частичных токов (с учетом их направления):

Амперметр включаем только для наглядности; сопротивление амперметра полагаем равным нулю.