Квантовая статистика

Аппарат квантовой механики описывает вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства в некоторый момент времени с помощью волновой функции - вероятность того, что частица, находящаяся в некотором объеме в некоторый момент времени , определяется с помощью квадрата модуля волновой функции.

Таким образом, квантовая механика по самой своей сути носит статистический характер, т. е. глубинно связана со статистической физикой.

В отличие от классической физики в квантовой модели проявляется ряд специфических закономерностей. Выделим наиболее важные из них:

1. В квантовой механике выполняется принцип неопределенности Гейзенберга, согласно которому , и - неопределенности в задании импульса и координаты.

а) Из этого принципа вытекает, что классическое понятие траектории движения частицы в квантовой не выполняется.

б) Две частицы, находящиеся в некотором замкнутом объеме, принципиально различить невозможно.

При движении частиц, и попытке наблюдать эти частицы, неизбежно наступает момент, когда расстояние между частицами окажется сравнимым с , т. е. с неопределенностью в задании координаты, и, начиная с этого момента, мы теряем идентификацию частиц.

Этот принцип называется принципом тождественности квантовых частиц.

2. В классической физике значения физических величин, описывающих поведение частицы, таких как энергия, импульс, момент импульса носят непрерывный характер, т. е. с течением времени изменяются непрерывно.

В квантовой физике эти величины могут принимать только разрешенный набор дискретных значений. Так возможные значения энергии получаются из решения уравнения Шредингера.

С учетом того, что рассматривается идеальный одноатомный квантовый газ, выражение для энергии газа можно записать

Где - те значения энергии, которые могут быть у частиц.

Для всех частиц этот набор одинаков, полученный из уравнения Шредингера, - число частиц, который в данный момент времени имеют соответствующие значению энергии.

- энергия системы в некоторый момент Z.

С течением времени значение Е у частиц изменится. Это будет соответствовать другому состоянию с другим заполнением квантовых уровней.

Вероятность того, что система находится в состоянии

F* - свободная энергия квантовой системы.

Сумма вероятностей нахождения системы в различных состояниях = 1:

Вынесем

- аналогично интеграл состояния называется статистической суммой.

Если спектр энергетических значений состоит из очень большого числа близко расположенных значений уровней, то

В силу того, что квантовые частицы неразличимы, число состояний по сравнению с классическим газом уменьшается в N! раз.

В силу принципа неопределенности если распишем dГ как было в классической модели.

но таких произведений N штук получим

- min возможный объем в пространстве Г, в пределе которого можно выделить конкретное состояние системы (оно будет отличатся от состояния, находящееся в соседнем элементарном объеме).