Однородные дифференциальные уравнения

Определение 8.3 Функция - называется однородной степени , если и выполняется равенство

(8.16)

Пример 8.5: Функция однородная функция первого порядка

Пример 8.6: Функция есть однородная функция второго порядка, так как

Пример 8.7: Функция есть однородная функция нулевого измерения. Действительно,

Определение8.4 Если функции и однородные, одной и той же степени m, то дифференциальное уравнение

(8.16¹)

называется однородным.

Определение 8.5. Дифференциальное уравнение первого порядка

(8.17)

называется однородным относительно и ,если есть однородная функция нулевого измерения.

Решение уравнения (8.17). Его можно преобразовать, следующим образом

То есть (8.18)

Где - некоторая функция от одного переменного.

Введем вместо новую функцию от () при помощи подстановки

(8.19)

Тогда (8.19), подставляя в (8.18) имеем

Или

Следовательно, в силу (8.10) получим

()

Таким образом, решение уравнение (8.17) дается формулой

() (8.20)

Пример8.8: Решить уравнение

Решение: Заметим, что является однородной функцией нулевого измерения

Тогда согласно формуле (8.20), имеем

Пример 8.9: Решить уравнение

(8.21)

Решение: Так как , следовательно(8.21) является однородным уравнением и имеем , следовательно, по формуле (8.20) имеем

Откуда

.

Замечание8.2: Иногда, уравнение можно привести к однородному заменой переменного

(α-постоянное). Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одного измерения, если переменному приписать 1, переменному - измерение α и производной.

Пример8.10: Решить уравнение

=0

Решение: Пологая y= имеем

Далее пологая z=Ux, имеем

U’ = ,

Откуда

,

Ln Ln =Ln

Так как имеем