Уравнения с раздельными и разделяющимися переменными

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

dy/dx=f₁(x)f₂(y) (8.6)

где правая часть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, другая от у. Преобразуем это уравнение к следующему виду полагая f₂(y) ≠0

dy/dx=f₁(x)f₂(y) => dy/f₂(y)= f₁(x)dx (8.7)

Считая у известной функцией от х равенство (8.7) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а непосредственные интегралы от них будут отличатся постоянными слагаемыми. Интегрируя левую часть по у и правую по х, найдем

∫dy/f₂(y)dy=∫f₁(x)dx +c (8.8)

Таким образом мы получили общий интеграл уравнения (8.6)

Определение 8.1 Дифференциальное уравнение типа (8.7)

М(х)dx+N(y)dy=0 (8.9)

называется уравнением с разделяющимися переменными. Общий интеграл по доказанному есть

∫M(x)dx+ ∫N(y)dy=c (8.10)

Пример 8.2: Решить уравнение

xdx + ydy =0 (8.11)

Решение: Данное уравнение с разделяющимися переменными и в силу (8.10), имеем так, как М(х)=х, N(y)=y

∫xdx + ∫ydy = const

Или,

х² /2+у²/2=с => x²+y²=R² - Общий интеграл, где R = √2с

Пример 8.3: Решить уравнение

e^-^x / x dy + dx/ cos²y = 0 (8.12)

Решение: Данное уравнение с разделяющимися переменными, так как М(х)=хе^х, N(y)=cos²y, согласно формуле (8.10), имеем

∫xе^хdx + ∫cos²dy = c => 1/2e^x + sin2y/4 + ½ y = c

Определение 8.2 Уравнение вида

М(х,у)dx+N(х,y)dy=0 (8.13)

Называется уравнением с разделяющимися переменными. Если М(х,у)=М₁(х)N₁(y); N(х,y) = М₂(у) N₂(у);

Уравнение вида

М₁(х)N₁(y) dx + М₂(у) N₂(у) = 0 (8.13¹)

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с раздельными переменными путем деления обеих его частей на выражение М₂(у)N₁(y);

Тогда

(М₁(х)N₁(y)/ М₂(х)N₁(y))dx+ (М₂(х) N₂(у)/ М₁(у) N₂(х) ) dy=0 (8.14)

Т.е получаем уравнение (8.9)

Пример 8.4. Решить уравнение

(8.15)