Метод Бернулли

Уравнение (9.2) решается методом Бернулли, который заключается в следующем. Будем искать решение в виде произведения двух функций.

у(х) = u(x)v(x) (9.4)

имеем

y'(x)=u'(x)v(x)+v'(x)u(x) (9.5)

Подставляя (9.4) и (9.5) в (9.2), получим

u'(x)v(x) + u(x)v'(x) + p(x)u(x)v(x) = f(x) или

u(v'(x)+p(x)v(x)) + u'(>)v(x)=f(x) (9.6)

Подберем функцию v так, чтобы v'(x) + p(x)v = 0. Тогда относительно v(x) имеем линейное однородное уравнение

v'(x) + p(x)v(x) = 0 (9.7)

которое является уравнением с разделяющимися переменными, разделив переменные, получим

Следовательно, по формуле (8.10) имеем

откуда

(9.8)

Для удобства в формуле учитывая (9.7), имеем

(9.9)

следовательно, общее решение уравнения (9.2) запишется в виде

(9.10)

где с- произвольная постоянная.

Входящие в формулу (9.10) интегралы обозначают-производные, но выбранные определенно первообразные от подынтегральных функций. Удобно эти первообразные взять в виде определенных интегралов с переменным пределом х и нижним фиксированным пределом х₀, принадлежащим (а,b). Тогда формула (9.10) примет вид

(9.11)

Если потребовать, чтобы при х = х₀ решение обратилось в Уо(у(х_о) = У_о). тo очевидно, получим у₀ = С.

Следовательно, решение задачи Коши (у(х₀) = у₀) для дифференциального уравнения (9.2) дается формулой

(9.12)

формула (9.10) показывает, что общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме решения соответствующего однородного уравнения и частного решения однородного уравнения (получающегося из (9.10) при с=0).

Пример 9.1: Решить уравнение

ху' + у - 3 = 0 (9.13)

Решение: Так, как уравнение (9.13) имеет вид (9.1), где а_о(х) = х, а,(х) = 1, а₂(х) = -3 и, разделив на х, получим уравнение вида (9.2), то есть

(9.14)