Нахождение интегрирующего множителя

Из определения интегрирующего множителя имеем

(10.20)

или же, деля обе части равенства (10.20) на ,

(10.20’)

Мы получили в виде (10.20) или (10.20’) уравнение в частных производных для определения неизвестной функции . Задача интегрирования такого уравнения в общем случае не проще, чем задача решения уравнения (10.6). Конечно, нам достаточно знать только одно частное решение уравнения (10.20) иногда по каким-нибудь особенностям уравнение (10.20), удается найти такое частное решение, и тогда интеграция уравнения (10.6) сводится к квадратуре.

Рассмотрим, например, случай, когда существует интегрирующий множитель, являющийся функцией одного только х.

В этом случае = 0 и уравнение (10.20') обращается в такое

(10.21)

Ясно, что для существования интегрирующего множителя, не зависящего от у необходимо и достаточно, чтобы правая часть была функцией одного х, в таком случае найдется квадратурой:

Пример 10.6: ( 2ху+ х²у+ )dх+(х²+ у²)dу = 0

Здесь

Следовательно, = 1, = х, = е^х

Уравнение

есть уравнение в полных дифференциалах. Интегрируем его,

Для нахождения (у) вычислим и приравняем его N

Откуда '(у) =0

и общий интеграл нашего уравнения есть

Рассмотрим частный случай интегрирующего множителя, зависящего только от x, когда N=1 в этом случае уравнение имеет вид

dy-f(x,y)dx=0 (10.22)

Уравнение (10.21) примет вид

с условием, что есть функция одного х.

В таком случае f(х,у) имеет вид

т.е. уравнение, написанное в виде (10.22) и допускающее интегрирующий множитель, зависящий только от х есть уравнение линейное.

Из уравнения (10.21) имеем

Переходя к обозначениям лекции 9 для линейного уравнения,приходим к заключению.

Линейное уравнение имеет интегрирующий множитель

Пример10.7: Уравнение имеет интегрирующий

множитель , умножая на него обе части уравнения, имеем

где левая часть есть полный дифференциал, интегрируя находим

или

- общий интеграл.