Теорема существования и единственности

Сформулируем без доказательств одну из важнейших теорем дифференциальных уравнений, которая утверждает существование и единственность решения задачи Коши локально вблизи начальной точки х₀.

Теорем 10.1. Пусть дано дифференциальное уравнение.

(10.1)

удовлетворяющее начальному условию

(10.2)

относительно функций ..Мы предположим следующее

А. Функция определена в прямоугольнике

непрерывна в П, где - постоянные числа.

Так как непрерывная функция является в замкнутой области ограниченной, то из условия А следует существование такого положительного числа М, что имеет место неравенство

(10.3)

В. Функция удовлетворяет условию Лифшица по у. То есть сущестсвует такое положительное число N, что для любого значения

и переменной выполняется неравенство

(10.3¹)

Тогда дифференциальное уравнение (10.1) имеет решение , удовлетворяющее условию (10.2) и определенное в промежутке , где

Это решение единственно в том смысле, что любое другое решение уравнение (10.1), удовлетворяющее тому же начальному условию (10.2)

совпадает с в том же промежутке, где оба решения определены одновременно.

§ 2. Особые точки

1. Исследуем уравнение (10.1), в случае когда нарушается условие теоремы существования и единственности.

Пусть не выполняется условие А. Допустим, что в окрестности точки (х₀, у₀) функция f(х, у) является неограниченной.

Первый случай. когда . Тогда функция

примет ее значения равным 0 в точке (х₀, у₀).

Рассмотрим уравнение

и предположим, что для нее условия теоремы Коши в окрестности точки (х₀, у₀) выполнены, мы получим интегральную кривую, проходящую через точку (х₀, y₀), уравнение ее будет иметь вид

при х = х₀, у = у₀ имеем = 0. Таким образом, интегральная кривая

имеет в точке (х₀, у₀) вертикальную касательную.

Пример 10.1. при х = х₀, у = у₀=0 функция не ограничена, но в уравнении = у правая часть при этих начальных данных обращается в нуль. Искомое решение: у² = 2 (х - х₀) - парабола с вертикальной касательной при х = х₀.

Второй случай. является неограниченной в окрестности точки (х₀, y₀) не имеет единственного предела , когда точка (х, у) стремится к (х₀, y₀) между тем как в остальных точках этой

окрестности или или непрерывна. Такова, например,

функция в окрестности точки х=0, у=0. В самом деле, когда

точка (х, у) стремится к (0, 0), оставаясь на прямой ах + bу = 0, эта функция равна 0. Если же точка (х, у) лежит на прямой сх + dу = 0, функция не определена (нуль в знаменателе), но вблизи этой прямой она бесконечно велика; по другим направлениям функция имеет другие предельные значения. Мы скажем, что в точке (0, 0) наша функция имеет изолированную особую точку типа .