Уравнения в полных дифференциалах.Интегрирующий множитель

Всякое уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной

у'=f(х,у) (10.4)

или в дифференциальном виде

dу-f(х,у)dх = 0 (10.5)

или в симметричном виде

М(х,у)dх + N(х,у)dу = 0 (10.6)

Рассмотрим частный случай, когда левая часть уравнения (10.6) представляет полный дифференциал некоторой функции V(х, у)

М (х, у)dх + N (х, у)dy =

В этом случае уравнение (10.6) называется уравнением в полных точных дифференциалах.

Последнее тождество равносильно двум:

(10.7)

Если в (10.6) подставить вместо у решение уравнения (10.1), то мы

будем иметь dV(х,у)=0, откуда

V(х.у) = С (10.8)

Для значений x и у, соответствующих этому решению (С -постоянное) и обратно, для функции у, определяемой уравнением 10.8) имеем dV=0. Итак, уравнение (10.7), содержащее произвольное постоянное, является интегралом уравнения (10.6) в полных дифференциалах.

Для существования решения у(х) дифференциального уравнения (10.1), принимающего при х=x₀ значения у₀ достаточно, чтобы уравнение (10.8) определяло у как неявную функцию от х, т.е. чтобы в точке (х₀, y₀)

мы имели . В таком случае решение у(х), проходящее через точку (х₀,у₀) определяется из уравнения:

V(х,у) = V(х₀,y₀)

Если N (х₀, у₀) = 0, а М (х₀, у₀) 0, то соотношение (10.6) определяет х как функцию от у; исключение в смысле существования и единственности решения составляют только точки, в которых М (х₀, y₀) ⁼ N (x₀,y₀) ⁼ 0; это особые точки уравнения (10.6) [П. 2]

Найдем признак, по которому для данного уравнения (10.6) судят, принадлежит ли оно к классу уравнений в точных дифференциалах. Из равенства (10.7), предполагая существование соответствующих производных, получаем

(10.9)

который является необходимым условием полного дифференциала.

Покажем, что условие (10.9) является также достаточным, а именно, предполагая его выполненным, найдем функцию V(х, у), удовлетворяющую соотношениям (10.7). Мы имеем = М(х,у), откуда интегрируя по x от х₀ до x: и считая у постоянным, получаем

V(х,у) = (10.10)

Заметим, что (10.10) удовлетворяет первому соотношению (10.7). Покажем, что при выполнении условий (10.9) можно найти функцию (у), чтобы выполнялось и второе соотношение (10.7). Примем правило дифференцирования интеграла по параметру из (10.10), имеем

тогда в силу (10.9), получаем

Тогда, учитывая, что , получим '(у) = N(x₀,у)

Определим

(10.11)

Равенство (10.11) подставляя в (10.10), находим

(10.12)

которое является общим интегралом уравнения (10.5).

Примечание: На практике оказывается проще дифференцировать равенство (10.10) по у и, заменяя известной функцией N(х,у) определить из полученного равенства '(у), а затем найти квадратурой.

Пример 10.5: Найти полный интеграл (Зх²+6ху²)dх+(6х²у+4у³)dу = 0

Решение: Здесь М(х,у)= (Зх²+6ху²); N(х,у)= (6х²у+4у³)

и и условия (10.9.) выполнено

или

V(х,у) = (х³+3х²у²) + (у)

Вычислим ’(у):

откуда

Таким образом, полный интеграл

Если левая часть уравнения (10.6) не есть полный дифференциал, возникает вопрос – нельзя ли найти такую функцию , по умножении на которую левая часть уравнения (10.6) станет полным дифференциалом некоторой функции .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Таким образом, - интегрирующий множитель, мы имеем

(10.13)

Первый вопрос: Для всякого ли уравнения первого порядка существует интегрирующий множитель? Из теоремы существования мы знаем, что при известных условиях уравнение (10.1) имеет общий интеграл

Дифференцируем это уравнение по х, полагая у=у(х), таким образом мы исключаем С и придем к дифференциальному уравнению

или (10.14)

Это уравнение должно быть тождественно с исходным уравнением (10.6), которую мы находим в виде

(10.15)

Сравнивая (10.14) и (10.15), имеем

или

Из последних равенств имеем

(10.16)

- является интегрирующим множителем. Итак, всякое дифференциальное уравнение первого порядка, удовлетворяющее некоторым условиям, имеет интегрирующий множитель.

Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно. В самом деле, пусть - есть какой-нибудь интегрирующий множитель уравнения (10.1), а есть интеграл этого уравнения. тогда , где - произвольная дифференциальная функция, являющаяся также интегрирующим множителем. В самом деле, выражение

является полным дифференциалом от функции

Следовательно,

(10.17)

есть интегрирующий множитель уравнения (10.6) Докажем, что всякий интегрирующий множитель уравнения (10.6) дается формулой (10.17).

В самом деле, пусть кроме дифференцирующего множителя , имеется еще какой-то интегрирующий множитель . Мы имеем

(10.18)

где V=V(х,у) раскрывая последние тождества, имеем

Откуда

или

Таким образом, функции якобиян функции U и V тождественно равны нулю, а так как , то между этими функциями существует зависимость вида

(10.19)

Равенство(10.8)даеттогда

Откуда

Следствие: Если известны два существенно различных интегрирующих множителя и , уравнения (10.6), то общий интеграл получается без всякой квадратуры в виде