Эквивалентность условия Коши-Римана

Пусть дана функция f (z)=u(x,y)+iv(x,y). Переменные легко выразить через z=x+iy,

=x-iy; x= , y=

Поэтому

f(x)= u(; )+ iV (; ).

То есть функцию f(z) формально можно рассматривать как функцию двух переменных Z и . Найдем

= + + i ( + )= - +i( - )= ( - ) + ( + )

В силу (25.8) имеем =0

Теорема 3.4. Условие Коши-Римана и =0 эквивалентны.