Интеграл от функций комплексной переменной

Пусть на комплексной плоскости C_z задана гладкая или кусочно-гладкая кривая =AB.Если кривая замкнута, то A=B. Установим положительное направление на кривой, считая точку A первой, если кривая незамкнутая. Если кривая замкнута, то положительным направлением обхода будем считать движение против часовой стрелки.

Предположим, на AB задана непрерывная ограниченная функция f(z)_. Точками

А=z₀<z₁<z₂<z_n=B. Кривую АВ разобьем на элементарные дуги , m=1, 2, 3,… n. Нумерация точек производится в направлении от точки A к В. Обозначим

DZ_m = Z_m- Z_m-1 m=1,2,3,…n. На каждой дуге Z_m-1Z_m выберем по одной точке _m и образуем сумму

d_n= _m (26.1)

Сумма (4.1) называется интегральной суммой Римана для функций f (z) по кривой AB= .

Определение 26.1 Конечный предел этой суммы при условии, что где =max| _m|, если этот предел не зависит ни от способа разбиения кривой, ни от способа выбора точек _m. называется интегралом от функций f (z) по кривой и обозначается

(26.2)

При этом функция f(z) называется интегрируемой по кривой .

Пусть z=x+iy, f(z)=U(x,y)+iV(x,y)

Введем обозначения Z_m= х _m+i y _m х_m- х_m-1= х_m

у_m- у_m-1= у_m,

Тогда

+

Где

Переходя в этом равенстве к пределу, при l , получаем

(26.3)

Следовательно, существование интеграла равносильно существованию следующих двух криволинейных интегралов от действительных функций:

Udx-Vdy, Vdx+Udy

Если кривая задана параметрическим уравнением

Z= (t) = (t) +i (t), a t ,

то в формуле (26.3)

и, следовательно,

(26.4.)

Пример 26.1. Пусть f(z)=1. A и B- соответственно начало и конец кривой . Тогда интегральная сумма (26.1) равна

(z_m-z_m-1)=z₁-z₀+z₂-z₁...+z_n-z_n-1=z_n-z₀=B-A

Откуда . Таким образом, зависит только от начальной и конечной точке кривой и не зависит от пути интегрирования.В этом случае вместо можно записать . В частности, если A=B то =0, т.е. интеграл по любой замкнутой кривой равен нулю.