Теорема Коши для односвязной области. Независимость интеграла от пути интегрирования

В общем случае интеграл dz зависит от пути интегрирования, а не только от начальной и конечной точки. Выясним условия, при которых интеграл от формы пути не зависит.

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема.26.1. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции вдоль всякого замкнутого кусочно- гладкого контура g, целиком лежащего в D, равен нулю.

Доказательство. Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитическая в области D функция. Напомним, что функции u(x,y), v(x,y) имеет в этой области частные производные

, , ,

Через g обозначим любой замкнутый контур целиком лежащий в D. Имеем

f(z)dz= u(x)dx-Vdy+i Vdx+udy (26.8)

Из условии Коши-Римана следует

=-

=

Этих условий и непрерывности функций , , , достаточно для обращения интегралов в соотношении (26.8) в нуль.

Теорема.26.2. Если F(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл

I=

не зависит от формы пути интегрирования g=AB для любых точек А и В из D.

Действительно, если дуги C₁ и C₂ имеют общую начальную точку A и общую конечную точку B, то

- =0.

По теореме 26.1

=

Если интеграл не зависит от формы пути AB, то используют обозначения