Свойства интегралов

Из формулы (26.3) следует, что непрерывная на кривой функция интегрируема на этой кривой. Из свойств криволинейных интегралов вытекает так же, что имеют место следующие формулы:

1. [ а f(z)+bg(z)]dz= f(z)dz+b g(z)dz, (26.5)

где а и в – любое комплексные числа (линейность интеграла)

2. f(z)dz= - f(z)dz (26.6)

т.е. при изменении ориентации кривой интеграл меняет знак.

3. f(z)dz= f(z)dz+ f(z)dz (26.7)

4. | f(z)dz|£ |f(z)| dz

Пример 26.2. Пусть f(z)=Z, -кривая с началом в точке A и концом в точке B. Так как функция f(z)=Z непрерывна на кривой , то интеграл zdZ существует. предел (26.2) не зависит от выбора точек , . Положим

= Z_k-1, тогда zdz= , где

S= Z_k-1(Z_k-Z_k-1). Полагая =Z_k, получаем zdz= , где

= Z_k(Z_k-Z_k-1)

Следовательно, zdz=(1/2) (S + ),

=

Откуда находим

zdz= (B²-A²)

Таким образом, интеграл zdz не зависит от пути интегрирования. В частности, интеграл zdz по любой замкнутой кривой равен нулю.

Пример.26.3. Вычислить интеграл

По дуге окружности |z|=1 (lnz - главное значение логарифма ln1=0)

Решение. Первый способ. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:

= = = = = = = ;

Второй способ. Делаем замену переменной

lnz=W, dW=

Дуга окружности, z=1 переходит в отрезок мнимой оси заключенной между точками (0, 0) и (0, ).

Интеграл примет вид

;

Третий способ. Положим

z=e ^ij (Здесь r=|z|=1),

тогда lnz=ij, dz=ie^ijdj

Действительная переменная изменяется в пределах 0< < /2. В этом случае получаем

;