Метод дробных реплик

С увеличением количества факторов резко возрастает количество опытов факторного эксперимента. Однако для нахождения коэффициентов регрессии не всегда требуется много опытов. В таких случаях можно уменьшить объём экспериментальных работ, воспользовавшись методом дробных реплик [13, 15].

Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения описания процесса используется определенная часть полного факторного эксперимента: 1/2, 1/4 и т.д.

Расчёт коэффициентов регрессии, проверка значимости коэффициентов и адекватности описания в данном случае производятся также, как и при полном факторном эксперименте.

Пусть, например, требуется найти коэффициенты уравнения регрессии:

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃. (3.12)

Если для этой цели воспользоваться трёхфакторным экспериментом, то необходимо провести 8 опытов. Однако эту задачу можно решить и с помощью меньшего количества опытов. Например, возьмём матрицу полного двухфакторного эксперимента и приравняем произведение х₁x₂ к фактору x₃.

Коэффициенты вычислим по формулам:

; (3.13)

; (3.14)

. (3.15)

Таблица 3.3 - Планирование типа 2^3-1

Номер опыта	х1	х2	х1 х2	х3	Функция отклика
	-1	-1	+1	+1	у1
	+1	-1	-1	-1	у2
	-1	+1	-1	-1	у3
	+1	+1	+1	+1	у4

Столбцы для произведения х₁х₂ и фактора х₃ полностью совпадают, поэтому может быть найдена только их сумма:

. (3.16)

Такое планирование называют планированием со смешиванием.

Существует правило, позволяющее определить, какие коэффициенты регрессии определяются совместно при планировании со смешиванием.

Например: методом дробных реплик найдём математическое описание процесса в виде уравнения регрессии:

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃ +b₄x₄+b₅x₅. (3.17)

Воспользуемся планированием типа 2^5-2 и примем:

х₄=-х₁х₂; (3.18)

х₅=х₁х₂ х₃. (3.19)

Такие равенства в методе дробных реплик называются генерирующими соотношениями.

Правило определения совместных оценок коэффициентов:

1. Примем во внимание, что:

2. Умножив обе части генерирующих соотношений соответственно на х₄ и х₅, получим:

Эти равенства называются определяющими контрастами. Перемножив их почленно, получим новые определяющие контрасты. В данном случае:

.

3. Составим алгебраическую сумму из единицы и правых частей всех полученных определяющих контрастов:

.

4. Умножив каждый из факторов на s и заменив факторы соответствующими коэффициентами разложения в ряд Тейлора, получим: