Линейные уравнения узловых напряжений

Общие закономерности формирования уравнений узловых напряжений рассмотрим сначала на примере электрической цепи постоянного тока, приведенной на рис. 6.1 и состоящей из четырех узлов и шести ветвей. Узлы 1 и 4 – генерирующие, узлы 2 и 3 – нагрузочные. Источники и нагрузки представлены неизменными задающими токами – J₁, – J₂, J₃, J₄. Токи в нагрузочных и генерирующих узлах имеют разные знаки. Токи в ветвях I _ij и взаимные проводимости ветвей Y _ij обозначены в соответствии с номерами узлов, которые эти ветви связывают. Направления токов в ветвях предварительно выбраны произвольно.

Рис. 6.1. Схема сложнозамкнутой сети

Из теоретической электротехники известно, что для схемы, содержащей N узлов, количество независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, составляет N –1. Следовательно, для одного любого узла схемы не требуется запись уравнения по первому закону Кирхгофа. Такой узел называется балансирующим по току. В качестве балансирующего узла может быть принят любой узел. В рассматриваемой схеме в качестве балансирующего узла примем узел 1.

В соответствии с первым законом Кирхгофа для узлов 2, 3 и 4 запишем уравнения

I₁₂–I₂₃–I₂₄= - J₂;

I₁₃+I₂₃ - I₃₄=J₃; (6.1)

I₁₄+I₂₄+I₃₄=J₄.

В соответствии с законом Ома ток в ветви между двумя любыми узлами i и j равен

I_ij=(U_i – U_j)Y_ij, (6.2)

где – U_i и U_j напряжения в узлах i и j;

Y _ij – взаимная проводимость ветви между узлами i и j.

После подстановки (6.2) в (6.1) и алгебраических преобразований получим уравнения узловых напряжений для 4-узловой сети постоянного тока

Y₁₂U₁+( – Y₂₁ – Y₂₃ – Y₂₄)U₂+Y₃₂U₃+Y₄₂U₄= – J₂;

Y₁₃U₁+Y₂₃U₂+( – Y₃₁ – Y₃₂ – Y₃₄)U₃+Y₄₃U₄=J₃; (6.3)

Y₁₄U₁+Y₂₄U₂+Y₃₄U₃+( – Y₄₁ – Y₄₂ – Y₄₃)U₄=J₄.

Система с (N –1) уравнениями содержит N искомых напряжений в узлах и, следовательно, имеет бесконечное количество решений. Для однозначного определения напряжений в узлах сети необходимо задаться величиной напряжения в одном из узлов. Такой узел называется базисным по напряжению. В качестве базисного узла может быть принят любой узел, однако с целью упрощения вычислительной процедуры целесообразно базисный узел совместить с балансирующим. Поэтому в качестве базисного узла примем узел 1. Заданное напряжение в этом узле обозначим U _б.

Поскольку напряжение U ₁= U _б является заданным, перенесем составляющие Y ₁₂ U ₁, Y ₁₃ U ₁ и Y ₁₄ U ₁в правые части уравнений и примем для базисного и балансирующего узла 1 индекс «б». В результате получим систему

( – Y₂₁ – Y₂₃ – Y₂₄)U₂+Y₂₃U₃+Y₂₄U₄= – J₂ – Y_2бU_б;

Y₃₂U₂+( – Y₃₁ – Y₃₂ – Y₃₄)U₃+Y₃₄U₄=J₃ – Y_3бU_б; (6.4)

Y₄₂U₂+Y₄₃U₃+( – Y₄₁ – Y₄₂ – Y₄₃)U₄=J₄ - Y_4бU_б.

Введем следующие обозначения:

Y₂₂= – Y₂₁ – Y₂₃ – Y₂₄;

Y₃₃= – Y₃₁ – Y₃₂ – Y₃₄; (6.5)

Y₄₄= – Y₄₁ – Y₄₂ – Y₄₃.

Назовем Y₂₂, Y₃₃ и Y₄₄ собственными проводимостями узлов 2, 3 и 4. Собственная проводимость узла i равна сумме взятых с противоположным знаком взаимных проводимостей ветвей, сходящихся в узле i.

С учетом обозначений (6.5) уравнения узловых напряжений (6.4) запишем в более компактном виде:

Y₂₂U₂+Y₂₃U₃+Y₂₄U₄= – J₂ – Y_2бU_б;

Y₃₂U₂+Y₃₃U₃+Y₃₄U₄=J₃ – Y_3бU_б; (6.6)

Y₄₂U₂+Y₄₃U₃+Y₄₄U₄=J₄ – Y_4бU_б.

Из (6.6) видно, что для сети постоянного тока при представлении активных элементов сети неизменными токами система уравнений узловых напряжений является линейной системой алгебраических уравнений.

В матричной форме записи система (6.6) будет иметь вид

YU = J – Y _б U_б, (6.7)

где Y – матрица собственных и взаимных проводимостей;

U – вектор-столбец напряжений в узлах;

J – вектор-столбец токов в узлах;

Y _бU _б – вектор-столбец произведений базисного напряжения на взаимные проводимости между базисным узлом и другими узлами.

Для электрической сети, состоящей из N узлов, матрица собственных и взаимных проводимостей имеет следующие свойства:

матрица Y квадратная размерности (N –1);

матрица Y симметрична относительно диагонали, поскольку для каждой ветви Y_ij=Y_ji;

каждый недиагональный элемент матрицы Y _ij равен взаимной проводимости ветви, связывающей узлы i и j;

каждый диагональный элемент матрицы Y _ii равен собственной проводимости узла i;

если в схеме между узлами i и j отсутствует ветвь, то соответствующий элемент матрицы Y равен нулю (Y _ij = 0).

Для сети переменного тока проводимости всех ветвей, задающие токи источников и нагрузок, искомые напряжения и токи ветвей будут величинами комплексными. Матрицы, состоящие из комплексных величин, будем обозначать подчеркиванием.

Напряжение в базисном узле задается, как правило, действительным числом. Кроме того, для трехфазной сети переменного тока необходимо учесть, что искомые напряжения являются линейными (междуфазными). Для упрощения записи системы уравнений токи в узлах будем задавать тоже линейными значениями.

С учетом сказанного система уравнений узловых напряжений для сети переменного тока в матричной форме записи будет иметь вид

YU = J – Y _бU_б. (6.8)

Таким образом, для сети переменного тока при представлении активных элементов сети задающими токами система уравнений узловых напряжений является линейной системой алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами и комплексными искомыми переменными.

Система линейных уравнений с комплексными элементами сводится к системе линейных уравнений удвоенного порядка 2(N –1) с действительными элементами. Для этого матрица Y и вектор-столбцы U и J с комплексными элементами представляют в виде

Y = G – j B;

U = U ' +j U "; (6.9)

J = J ' +j J ";

Y _б = G_б – j B_б.

Подставляя (6.9) в (6.8), получим

( G – j B)( U '+j U " )=( J ' +j J " ) –(G_б – j B_б) U_б. (6.10)

Разделив в последнем матричном уравнении действительные и мнимые части, получим систему линейных алгебраических уравнений порядка 2(N – 1) с действительными элементами:

GU'+B_yU"=J' – G_б U_б;

– BU'+GU"=J" – B_б U_б. (6.11)

Система (6.11) содержит 2(N –1) искомых напряжений U '_i и U "_i, где i =2, 3,... N.

Полная запись системы (6.11) для электрической сети переменного тока, приведенной на рис. 6.1, будет иметь вид

g ₂₂ U ₂'+ g ₂₃ U ₃'+ g ₂₄ U ₄'+ b ₂₂ U ₂''+ b ₂₃ U ₃''+ b ₂₄ U ₄''=– J ₂'– g _2б U _б;

g ₃₂ U ₂'+ g ₃₃ U ₃'+ g ₃₄ U ₄'+ b ₃₂ U ₂''+ b ₃₃ U ₃''+ b ₃₄ U ₄''= J ₃'– g _3б U _б;

g ₄₂ U ₂'+ g ₄₃ U ₃'+ g ₄₄ U ₄'+ b ₄₂ U ₂''+ b ₄₃ U ₃''+ b ₄₄ U ₄''= J ₄'– g _4б U _б; (6.12)

– b ₂₂ U ₂'– b ₂₃ U ₃'– b ₂₄ U ₄'+ g ₂₂ U ₂''+ g ₂₃ U ₃''+ g ₂₄ U ₄''=– J ₂''– b _2б U _б;

– b ₃₂ U ₂'– b ₃₃ U ₃'– b ₃₄ U ₄'+ g ₃₂ U ₂''+ g ₃₃ U ₃''+ g ₃₄ U ₄''= J ₃''– b _3б U _б;

– b ₄₂ U ₂'– b ₄₃ U ₃'– b ₄₄ U ₄'+ g ₄₂ U ₂''+ g ₄₃ U ₃''+ g ₄₄ U ₄''= J ₄''– b _4б U _б.

В результате решения этой системы линейных уравнений определяются искомые напряжения в узлах: U '₂, U ''₂, U '₃, U ''₃, U '₄, U ''₄.

По полученным напряжениям рассчитываются линейные токи в ветвях:

I _ij=(U _i– U _j) Y _ij=[(U '_i+ jU ''_i)–(U '_j+ jU ''_j)](g _ij– jb _ij)=

=[(U '_i– U '_j)+ j (U ''_i– U ''_j)](g _ij– jb _ij)= (6.13)

=[(U '_i– U '_j) g _ij+(U ''_i– U ''_j) b _ij]+ j [(U '_i– U '_j)(– b _ij)+(U ''_i– U ''_j) g _ij]= I _ij'+ jI _ij''.

Следует отметить, что при представлении источников питания и нагрузок сети не токами, а мощностями система уравнений узловых напряжений будет уже нелинейной.