Метод уравнений Кирхгофа

Отыскание неизвестных величин связано с составлением и совместным решением системы уравнений, записанных по I и II законам Кирхгофа. Для того чтобы записать эти уравнения, необходимо предварительно пронумеровать узлы, присвоив каждому из них соответствующее обозначение потенциала (j₁, j₂, ¼, j _n) и ветви, присвоив каждой из них обозначение тока (I ₁, I ₂, ¼, I_m).

Прежде чем приступить к составлению уравнений по законам Кирхгофа, необходимо установить, сколько независимых уравнений составляется по каждому из этих законов. Уравнения по I закону Кирхгофа, связывающие m неизвестных токов, могут быть записаны для каждого из узлов цепи. Однако использовать для совместного решения можно только n – 1 уравнений, т.к. уравнение, записанное для последнего узла, окажется следствием всех предыдущих уравнений. По II закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей m за вычетом числа уравнений, составленных по I закону Кирхгофа (n – 1), т.е. p = m – (n – 1 ) = m – n + 1, где p – количество независимых контуров.

Все эти рассуждения справедливы и для случая, когда в цепи содержатся источники тока. В этом случае уменьшается количество неизвестных токов, но появляется соответствующее число напряжений U_J, которые войдут в уравнения в качестве неизвестных величин.

Таким образом, алгоритм расчета разветвленной цепи, не содержащей источников тока, методом уравнений Кирхгофа следующий:

1. Обозначить токи ветвей и произвольно выбрать их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел и совокупность p = m – n + 1 независимых контуров.

3. Для всех узлов, кроме опорного, составить уравнения по I закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть n – 1.

4. Для каждого выбранного контура составить уравнения по II закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть p.

5. Систему m уравнений Кирхгофа с m неизвестными токами решить совместно и определить численные значения токов.

6. Если необходимо, рассчитать с помощью обобщенного закона Ома напряжения ветвей или разность потенциалов узлов.

7. Проверить баланс мощности.

Если в цепи есть q источников тока, то при правильном выборе совокупности независимых контуров количество совместно решаемых уравнений в системе можно сократить на q. Если контуры выбирать таким образом, чтобы каждый источник тока вошел только в один контур, соответствующее U_J войдет только в одно уравнение по II закону Кирхгофа. Поскольку неизвестными являются только токи в m – q ветвях, количество уравнений по II закону Кирхгофа можно уменьшить до m – n + 1 – q. В результате, вместе с n – 1 уравнением I закона Кирхгофа, получится система из m – q уравнений относительно неизвестных токов, после совместного решения которых оставшиеся q уравнений используются для определения .

Пример.

1. Обозначим токи ветвей.

2. Выбираем совокупность независимых контуров (I, II, III) и опорный узел с.

3. Уравнения по I закону Кирхгофа:

узел а:

узел в:

узел d:

4. Уравнения по II закону Кирхгофа:

I контур:

II контур:

III контур:

5. Совместно решаем систему из m – q = 5уравнений относительно неизвестных токов I ₁, I ₂, I ₄, I ₅, I ₆, в которую не войдет уравнение, составленное для II контура.