Методы формирования решений. Функции полезности

Методы формирования решений создаются в соответствии с классом задач принятия решений. Данное понятие является много­уровневым и включает в себя сочетания базовых и специфических методов решения задач. Базовые методы используются в различных областях управленческой деятельности, специфические — в некоторых.

К базовым методам относят следующие:

• целевое управление;

• сетевое планирование и управление;

• статистические методы (временные ряды, уравнения регрес­сии, прогнозирование и т.д.);

• методы оптимизации (линейные, нелинейные);

• факторный анализ;

• имитационное моделирование;

• таблицы решений;

• нечеткие множества;

• математический анализ и т.д.

К специфическим методам решения относятся:

• управление проектами;

• управление перевозками;

• управление запасами;

• управление цехом и т.д.

Метод формирования решений, как правило, включает в себя один-два базовых и несколько специфических методов решения за­дач. Устойчивое, широко применяемое сочетание методов решения задач может приобретать имя и тогда оно получает свой собственный статус. Например, сочетание сетевого планирования и управления с методами оптимизации и методами управления перевозками получи­ло название «оперативный анализ и управление перевозками».

Формирование решений осуществляется, как правило, на основе здравого смысла, предполагающего получение определенной выгоды. Для оценки альтернатив разработана теория полезности, которая ба­зируется на нескольких аксиомах. На их основе выведена формула для расчета среднего результата, который будет получен после при­нятия решения. Формула имеет вид:

R = рх + (1 - р)у,

где R — математическое ожидание результата принятия решения;

р — вероятность появления результата х;

х, у — альтернативы принятия решения.

Пусть существует несколько альтернатив решения.

А = {а;}; i = 1,т.

Последствия зависят от внешних факторов и находятся вне кон­троля:

Q = {qj\, у=й

Выбирая альтернативу а, для внешнего фактора qj, получим по­следствие Су

Пусть известно:

а) вероятности влияния внешних факторов (P(qj))\

б) полезность от альтернативы а/ при факторе qj, равная С,у. Тогда получим общую полезность альтернативы:

т

7=1

где j) ~ вероятность влияния фактора qf

Cjj — полезность альтернативы а,- при влиянии фактора qf, и(а,) — общая полезность альтернативы а,.

Полученные результаты можно ранжировать по полезности:

где v|/ — функция ранжирования;

со — вектор оценочных данных, которые указывает лицо, принимающее решение.

2.4.3. Этапы принятия решений. Критерии оценки, поиск вариантов, выбор

Практика принятия решений многообразна. Однако все они реа­лизуются по определенной схеме, подсказываемой здравым смыслом. Для того чтобы принять эффективное решение, необходимо выпол­нить ряд работ, складывающихся из отдельных этапов, процедур и операций. Среди многочисленных подходов к формированию реше­ний выделим трехэтапную модель Г. Саймона, являющуюся основой для реализации большинства известных на сегодня технологий. Мо­дель приведена на рис. 2.8.

1-й этап 2-й этап 3-й этап Рис. 2.8. Трехэтапное формирование решений

Рассмотрим содержание каждого из этапов. На первом этапе применяются в основном неформальные мето­ды для того, чтобы:

а) сформулировать проблему;

б) выявить цель;

с) сформулировать критерий оценки принятия решений.

Проблема выражает объективно возникающий в процессе управ­ления вопрос, решение которого диктуется интересами лица, при­нимающего решение (ЛПР).

Для того чтобы осознать проблему, ЛПР должно дать ответы на ряд вопросов. Например:

1. В чем проблема? Каковы симптомы, т.е. признаки или пока­затели проблемы? Что, собственно, не устраивает ЛПР?

2. В чем особенности проблемы? Что мешает или чего не доста­ет при наличии проблемы?

3. Можно ли разложить проблему на части, а среди выделенных частей выделить основные и второстепенные проблемы?

Если проблема осознана и идентифицирована количественными показателями или качественными признаками, то далее можно сфор­мулировать цели. Цель — это антипод проблемы. Если проблема это то, чего не хочет ЛПР, то цель — это то, чего он хочет.

В иерархии управления (см. рис. 2.7) формулируются цели, со­ответствующие своему уровню. На самом высоком уровне находят­ся цели, носящие директивный характер. Эти цели называют также траекторными. Такое название связано с тем, что заданные цели отражают желаемую траекторию изменения объекта управления во времени. На практике траектория развития предприятия задается с помощью показателей, количественно отражающих уровень дости­жения той или иной цели.

В процессе управления ЛПР стремится избегать негативных проявлений и добивается совпадения фактической траектории с же­лаемой. Траекторным целям подчинены рабочие цели, которые меня­ются в соответствии с возникающей фактической ситуацией.

Директивные цели всегда детализируются. Процесс детализации носит иерархический характер. В результате получают дерево целей. Нижний уровень дерева целей превращается в мероприятие, которое следует выполнить для достижения директивной цели.

Существует следующее правило, согласно которому должно строиться дерево целей:

• ни одна из нижних вершин дерева не должна входить более, чем в одну верхнюю;

• вершины дерева одного уровня не должны быть альтернатив­ными, т.е. для достижения цели вышестоящего уровня долж­ны быть достигнуты все подцели данного уровня;

• цели нижнего уровня должны являться детализацией цели ближнего верхнего уровня. Если таковой нет, она должна быть введена фиктивно.

Если проблема и цель сформулированы, далее следует разрабо­тать критерии, согласно которым выполняется отбор приемлемого решения. Критерием отбора может служить любой признак, значе­ние которого можно зафиксировать в некоторой шкале. Так как крите­рий служит для оценки вариантов решений, он должен быть измерим. Для этого можно воспользоваться различными шкалами. Распро­страненными среди них являются следующие [27]:

• Шкала наименований используется для присваивания объ­ектам наименований или идентификаторов. В этой шкале число может использоваться лишь для обозначения с последующим вы­делением объекта из множества других. Например, страницы книги отличаются номерами. Номера страниц не могут быть использова­ны для каких-либо иных целей, кроме выделения. Нельзя утвер­ждать что материал книги на с. 20 имеет ббльшую ценность, чем материал на с. 25.

• Ранговая шкала задает отношение порядка. Критерии в этой шкале более информативны по сравнению с предыдущей, так как позволяют манипулировать понятиями «хуже—лучше». Оценки здесь, как правило, балльные, что позволяет их сопоставлять с общеприня­тыми нормами (например, ранжирование целей по значимости).

• Шкала интервалов позволяет измерить что-либо в произволь­но заданных фиксированных величинах. Примером здесь может служить измерение температур или времени. Температуры по Цель­сию и Фаренгейту приводятся к друг другу с помощью линейных преобразований (точка начала отсчета и масштаб, задающий еди­ницу измерения).

• Шкала отношений является дальнейшим развитием шкалы интервалов. Она позволяет сравнивать не только интервалы между собой, но и их отношения. Шкалы отношений используются для из­мерения величин, у которых существует естественное начало отсче­та (масса, длина, стоимость).

Если известна природа сравниваемых величин, то, как правило, выбор типа шкалы не представляет особых затруднений. Большин­ство психологических, социальных и других качественных показате­лей, связанных с учетом человеческого фактора, не могут быть изме­рены в шкале отношений, а часто и в шкале интервалов, что создает сложности в использовании этих показателей в процессе принятия решения.

Показатели, характеризующие состояние экономического объ­екта управления, как правило, измеримы в шкале отношений. Если среди показателей выбрать тот, который, по мнению ЛПР, в наи­большей степени характеризует соответствие объекта управления заданному целевому назначению, то он и будет играть роль критерия оценки вариантов решений. Формировать критерий следует так, чтобы наиболее предпочтительная оценка состояния, объекта или процес­са соответствовала его максимуму или минимуму.

Рассмотрим типовые критерии выбора варианта решения. Общее правило для всех критериев можно записать в виде:

Y* = extremum(P[, Р₂,..., Р„),

V*

где т — искомым вариант решении;

Р, — коэффициент важности /-го решения.

Эта запись означает, что из множества чисел следует выбрать экстремальное число и по номеру этого числа определить, какое из альтернативных решений является наилучшим.

Если коэффициенты важности определены так, что чем больше их значение, тем лучше решение, то критерий нахождения решения соответствует операции нахождения максимума, т.е.:

7* = шах(Р|, Р₂, Р„).

Если коэффициенты важности определены так, что чем меньше их значение, тем более значимо решение, то критерий следующий:

Г =min(p„p₂,...,p„).

Приведем три наиболее распространенных критерия, применяе­мых в области экономики.

Критерий осторожного выбора. Этот критерий соответствует правилу «рассчитывай на худший случай»:

7* = maxminCy-, / J

где Су — результаты, которые будут получены по /-му варианту в у'-й си­туации.

В соответствии с этим критерием последовательно выполняются операции нахождения минимальных значений результатов во всех ситуациях, и затем из полученных вариантов находится тот, что имеет максимальное значение. Его номер и определит наилучшее решение. Такой критерий называют максиминным.

Критерий оптимистичного выбора ориентирован на правило «рассчитывай на лучший случай». Наилучший вариант определяется по формуле:

7* = шах max С,у.

i j

Критерий максимума среднего выигрыша используется тогда, ко­гда известны вероятности возникновения той или иной ситуации. Если предпочтения измеряются в шкале отношений, то средний выигрыш при каждом варианте рассчитывается так:

Mi^PjCij, j

где Mj — математическое ожидание выигрыша в случае принятия /-го ре­шения;

Pj — вероятность появления у'-й ситуации;

Су — оценка /'-го решения при j-й ситуации.

На втором этапе формирования решений происходит поиск различных вариантов — альтернатив. Варианты могут отыскиваться в различных формах и шкалах измерений (действия, состояния, маршруты, стоимости и т.д.).

Варианты, как правило, задаются либо перечислением, если та­ковых не очень много, либо описанием их свойств. Генерация ва­риантов решений в большинстве случаев выполняется либо с по­мощью различного рода аналитических моделей, либо с помощью баз знаний экспертных систем.

Существует множество аналитических моделей, используемых для подсчета результатов принятия того или иного варианта. Наи­более распространенными являются:

• численные методы решения уравнений или их систем;

• теория игр;

• теория полезности;

• теория статистических решений и т.д.

Подсчет результатов с помощью уравнений выполняется во мно­гих случаях. Все они привязаны к конкретной области применения и поэтому систематизировать их достаточно сложно. Можно лишь отметить, что существуют области, где эти методы применяются ус­пешно, но существуют и такие, где с их помощью не удается дос­тичь желаемого результата.

Теория игр используется в условиях конфликтных ситуаций. Схема игры позволяет получить формулу подсчета результатов для каждого варианта. Формализация процесса игры и есть формализа­ция процесса подсчета результатов.

Предметом теории полезности служит представление в действи­тельных числах относительных предпочтений отдельного лица при выборе варианта из некоторого их множества. Она позволяет срав­нивать полезности альтернативных решений при условии учета в каждом варианте вклада существенных факторов.

Теория статистических решений используется для формирова­ния вариантов довольно часто. С ее помощью создаются выраже­ния, применяющие различные распределения изучаемого случай­ного процесса.

Генерирование вариантов решений на основе баз знаний, кото­рые могут быть представлены в форме семантических сетей, деревьев целей или деревьев вывода, получило широкое распространение в результате применения экспертных систем. Наиболее популярными являются правила И-ИЛИ, синтезируемые в деревья. Правила снаб­жаются информацией, указывающей на степень доверия, как к са­мому правилу, так и условиям его реализации. С помощью правил

И-ИЛИ воспроизводятся процессы принятия решений в областях, где исходная информация характеризуется противоречивостью, об­рывочностью, приблизительностью.

На третьем этапе, согласно сформулированному на втором эта­пе критерию выбора, происходят сопоставление, оценка и выбор решения на основании функции полезности.

Простейшим методом оценки, используемым в условиях опре­деленности, является оценка с помощью таблицы «Стоимость- эффективность». Критерием выбора в данном случае выступает мак­симальный доход на единицу издержек. Метод требует расчета общих издержек и общих доходов по каждому из вариантов. В табл. 2.1 при­веден пример использования метода «Стоимость—эффективность» для оценки вариантов капиталовложений.

Вычисленное отношение доходов к издержкам показало, что ва­риант /?4 имеет наибольшую величину (3,2), поэтому ему присваи­вается первый ранг, варианту В\ присваивается второй ранг и т.д. Очевидно, согласно критерию, который требует выбора варианта с максимальным уровнем дохода на единицу издержек, лучшим будет вариант 5₄. Варианты в данном случае сопоставимы, так как резуль­таты измеряются в одной и той же шкале (шкала отношений) и од­них и тех же единицах измерения (рублях). Величины в последней графе измеряются в ранговой шкале.

Таблица 2.1. Использование метода «Стоимость—эффективность» Варианты решений Общие издержки Общие доходы Отношение доходов к издержкам Ранг варианта Вх     1,7   В2     1,55   53     1,27   54     3,2

Таблица «Стоимость—эффективность» может быть использована лишь в том случае, если каждый из вариантов оценивается на осно- ве одного критерия. Если же применяется больше одного критерия, создается таблица «Стоимость—критерий» (табл. 2.2). В ней пред­ставляются варианты решений, оцениваемые с различных точек зрения. Допустим, те же четыре варианта капитальных вложений необходимо оценить с позиций трех критериев; близость располо­жения к железной дороге (транспортные затраты), близость распо­ложения к водоемам (затраты на транспортировку воды), наличие в данной местности работоспособного населения (затраты на пере­возку людей).

Таблица 2.2. «Стоимость—критерий» Варианты решения Крите­рий Xi Крите­рий К2 Крите­рий Аз Общая оценка по всем критериям Ранг варианта В\           в2           Вз           Ва           Коэффици­ент значимо­сти критерия 0,6 0,3 0,1     Общие издержки

Элементами таблицы могут быть, как абсолютные величины, указывающие на издержки или доходы, так и относительные, на­пример, ранг варианта, вычисленный на основе таблицы «Стои­мость—эффективность». Будем считать что используется величина издержек, измеряемая в относительной шкале. В последней строке таблицы указываются коэффициенты значимости каждого из крите­риев оценки. Это та качественная информация, которая собственно и отличает систему поддержки принятия решений от формальных оптимизационных методов. Здесь лицо, принимающее решение, вно­сит свой опыт и знание в процесс оценки вариантов.

Распространенным методом сравнения вариантов служат оце­ночные баллы. Оценочные баллы нормируют, т.е. ограничивают, их значения в некотором диапазоне, например от 0 до 1. Кроме того, устанавливается закон оценки: например, сумма всех баллов должна быть равна 1.

Общая оценка каждого из вариантов рассчитывается по формуле:

°i=lL^aj^E,j-.

j

общая оценка /-го варианта решения; оценкау'-го критерия;

результат, который может быть получен при /-м варианте со­гласно критерию у.

Тогда по варианту В\ общая оценка равна:

0| = Е\ | • + Е\ + Щ з^а3 ⁼ 178.

где Oj

Eij -

Наилучшим вариантом, согласно данным табл. 2.2, является ва­риант В₄. Однако абсолютные величины в большинстве случаев мало информативны. Например, издержки в сумме 153, не соотнесенные с доходами, не дают полностью объективной картины. Поэтому в
большинстве случаев в качестве элементов Еу используют относи­тельные величины (ранги, рентабельности, нормы прибыли и т.д.).

Кроме критериев оценки в табл. 2.2 могут указываться и усло­вия, влияющие на результат реальных событий. Такие таблицы по­лучили название «таблицы решений».

Таблицы решений сочетают в себе варианты решений и возмож­ные ситуации (условия). Их элементы указывают на ожидаемый ре­зультат. Продолжая рассматривать пример о капитальных вложениях, будем считать, что в результате применения таблицы «Стоимость- критерий» выбран вариант /?₄. При данном варианте возможны раз­личные условия его реализации. В результате будут различаться и последствия. Допустим, возможны следующие факторы:

• (J\ — тарифы на энергоносители не будут превышать установ­ленных границ;

• Ui — тарифы на водозабор не будут превышать установлен­ных границ;

• Uj — работоспособного населения достаточно.

Таблица решения в данном случае имеет вид (табл. 2.3).

Таблица 2.3. Таблица решений Варианты решений Факторы Оценка при данных факторах 5] и{и2и3   Bi и,t/2[/3   Bi t7,t72c/3   Вп t7,t72(73

В табл. 2.3 с помощью символа (У, представлено условие, отри­цающее фактор U.

Таблицы решений используются в том случае, если:

• можно выделить условия, влияющие на результаты вариантов решений;

• выделенные условия достаточно весомы.

Деревья решений используются в условиях риска и при этом ус­ловия, определяющие варианты решения, находятся в отношениях соподчиненности. На практике это означает, что процесс принятия решения носит многоступенчатый характер: принятие одного реше­ния на более низком уровне управления позволяет перейти к дру­гому, более высокому уровню. Как правило, условия носят качест­венный характер и определяются вероятными величинами.

Иерархические отношения удобно представлять в виде дерева: дуги дерева отражают альтернативы частичных решений, а узлы — результаты. Таким образом, получают дерево решений с помощью которого можно представлять вероятностные (частотные) характе­ристики условий. Это позволяет достаточно просто определять ре­зультат принятия решения на том или ином уровне дерева с помо­щью математического ожидания:

п

Е(общего _ результата) = ^ p_jd_i;

;=1

где Е (общего_результата) — математическое ожидание общего, или промежу­точного, результата;

Pi — вероятность наступления события г;

ф — результат (частный), получаемый при наступлении события /';

п — количество событий, влияющих на общий (промежуточный) ре­зультат.

Рассмотрим пример. Допустим, лицу, принимающему решение, известны два варианта повышения уровня рентабельности на 5%:

1. Произвести продукцию А в количестве 100 ед. и продать ее по цене 10 ед. за штуку. Себестоимость единицы продукции состав­ляет 8 ед.

2. Произвести продукцию В в количестве 50 ед. и продать ее по цене 20 ед. за штуку. Себестоимость единицы продукции составляет 18 ед.

Конъюнктура рынка неизвестна, поэтому будем считать, что ры­нок одинаково благоприятен для обоих видов продукции. Для упро­щения задачи будем считать, что в случае неблагоприятного рынка для какой-либо продукции предприятие терпит убытки по ее себе­стоимости. Тогда в случае благоприятного рынка предприятие по­лучит от продажи продукции следующий доход:

1. От продукции A: d_{ = 100 • 10 = 1000 ед.

2. От продукции В: d₂ = 50 • 20 = 1000 ед.

При неблагоприятном рынке оно будет убыточным:

1. От продукции A: d₂ =-100 • 8 = -800 ед.

2. От продукции В: d₄ = —50 • 18 = -900 ед.

Построим дерево решений, на котором отразим последователь­ность событий от корня к листьям, а затем выполним расчет дохо­дов (убытков) в обратном направлении.

На дереве решений (рис. 2.9) представлены альтернативные вари­анты, при которых предприятие ожидают доходы или убытки. Так как отсутствует информация о рынке, будем считать, что он одина­ково благоприятен или неблагоприятен для обоих видов продукции и вероятность такого состояния рынка равна 0,5.

d, = 1000

Производство продукции А

d2 = -800

Конъюнктура для А благоприятна (Р | = 0,5)

Конъюнктура для А неблагоприятна (Р₂ = 0,5)

Производство продукции

Конъюнктура для В благоприятна (Pi = 0,5)

Производство продукции В

Конъюнктура для В неблагоприятна (Р₂- 0,5)

d* = -900

Рис. 2.9. Дерево решений производства продукции А и В

Определим средний ожидаемый доход для каждого из вариантов.

1. Е\ (доход _ от _ А) = 0,5 • 1000 - 0,5 • 800 = 100 ед.

2. Е\(доход от В) = 0,5-1000-0,5-900 = 50ед.

Вывод: целесообразным будет вариант 1, т.е. производство про­дукции А.

Можно пойти на некоторые затраты с целью получения инфор­мации о конъюнктуре рынка, что позволит уточнить, насколько ры­нок будет благоприятен для того или иного товара.

Допустим, в результате такого обследования получены следую­щие вероятности:

• ситуация будет благоприятна для продукта А с вероятностью 0,6;

• ситуация будет благоприятна для продукта В с вероятностью 0,7.

Воспользовавшись формулой расчета математического ожида­ния получим:

1. £j² (доход _ от _ А) = 0,6 • 1000 - 0,4 • 800 = 280 ед.

2. Е^ (доход от В) = 0,1 Л 000 - 0,3 • 900 = 430 ед.

В данном случае выгоднее выбрать вариант 2, т.е. производство продукции В.

d2 = 1000

Решение может формироваться не только одним лицом, но и группой лиц (экспертов). Групповые решения более точны, так как базируются на совокупном опыте группы. Мнения отдельных чле­нов группы по поводу принятия того или иного варианта решения, как правило, не совпадают, поэтому должны использоваться специ­альные методы, учитывающие мнение каждого. Простейшим явля­ется метод суммирования рангов. Суть метода в следующем: каж­дый из участников ранжирует варианты решений в соответствии с
его представлением о правильности варианта. Далее для каждого варианта подсчитывается сумма присвоенных им рангов. Выбирается вариант, получивший наибольший ранг.

Обратимся к табл. 2.4, где представлены результаты оценки трех вариантов решений четырьмя участниками группы оценки. Если считать, что ранг варианта снижается от 1 до 3, то наилучшим вари­антом является В\, так как сумма рангов для него минимальная (7).

Таблица 2.4. Групповая оценка вариантов Варианты Эксперт 1 Эксперт 2 Эксперт 3 Эксперт 4 Сумма решений         рангов В\           В2           Вз

Рассмотренные методы и модели формирования управленческих решений не затронули весьма важные аспекты данного процесса, касающиеся нравственной стороны дела. Принятие решений в лю­бой сфере человеческой деятельности базируется на системе нрав­ственных ценностей, усвоенной лицом, принимающим решение. Ценности условно можно разделить на собственные и нормативные, т.е. общественно признанные. У каждого человека свое отношение к общепризнанным ценностям: одни он принимает, другие нет. Однако в любом случае ему необходимо определиться в двух прин­ципиальных позициях:

• в главной цели, которая может быть гуманистической, коры­стной, узковедомственной, общественно значимой и т.д.;

• в средствах достижения целей, которые могут быть приемле­мыми или нет в глазах общественности.

Выбор управленческих решений зависит не только от интеллек­туального уровня личности, но и от его нравственно-этической по­зиции. Современная действительность подчеркивает особую акту­альность этой проблемы во всех звеньях управления экономикой.