Вывод уравнения колебаний струны

Пусть конечные точки струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывести струну из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнет колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости.

Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат . Тогда, если в начальный момент времени струна располагалась вдоль оси , то будет означать отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания величина отклонения будет зависеть от абсциссы точки струны и от времени . Таким образом, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, нам надо найти зависимость от и , т.е. найти функцию . При каждом фиксированном значении график функции представляет форму колеблющейся струны в момент времени (рис. 2.1), частная производная дает при этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой .

Рис. 2.1. Форма струны при фиксированном значении времени

При изменении форма струны, очевидно, изменяется, и, чтобы представить себе процесс колебаний, мы должны построить несколько графиков функции при различных значениях , т.е. сделать несколько мгновенных снимков колеблющейся струны. При постоянном значении функция дает закон движения точки с абсциссой вдоль прямой, параллельной оси , производная – скорость этого движения, а вторая производная – ускорение.

Задача состоит в том, чтобы составить уравнение, которому должна удовлетворять функция . Для этого сделаем предварительно несколько упрощающих предположений. Будем считать струну абсолютно гибкой, т.е. не сопротивляющейся изгибу – это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону от какой-либо ее точки, то сила натяжения , заменяющая действие удаленной части, всегда будет направлена по касательной к струне. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука – изменение величины силы натяжения пропорционально изменению длины струны. Примем, что струна однородна, линейную плотность ее обозначим ( – масса единицы длины струны).

Предположим, далее, что на струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси , которые могут меняться вдоль струны и со временем. Силы эти будем считать непрерывно распределенными вдоль струны; величину силы, направленной вверх, условимся считать положительной, а вниз – отрицательной. Плотность распределения этих сил вдоль струны является функцией абсциссы и времени , обозначим ее . Плотность распределения параллельных сил, изменяющихся вдоль линии, определяется как предел отношения величины равнодействующей этих сил, приложенных к малому участку, к длине участка при условии, что участок стягивается в точку. Это определение совершенно аналогично определению обычной плотности. Если, в частности, единственной внешней силой является вес струны, то , где – плотность струны, а – ускорение силы тяжести.

Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, мы пока пренебрегаем.

Будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через острый угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой в момент времени , то условие малости колебаний заключается в том, что величиной можно пренебречь ().

Так как разложение функции в ряд Маклорена имеет вид , то можно считать, что . Далее и, следовательно, . Наконец, и .

Так как , то в силу полученных условий заключаем, что:

.

Отсюда следует, что в процессе колебания мы можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина участка в момент времени (рис. 2.2) равна:

.

Рис. 2.2. К доказательству неизменности длины любого участка струны

Из всего вышеперечисленного заключаем:

.

Покажем теперь, что при наших предположениях величину силы натяжения можно считать постоянной, не зависящей ни от точки ее приложения, ни от времени . Возьмем для этого какой-либо участок струны (рис. 2.3) в момент времени и заменим действие отброшенных участков силами натяжения и .

Рис. 2.3. Действие сил натяжения на участок струны

Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси и внешние силы также параллельны этой оси, то сумма проекций сил натяжения на ось должна равняться нулю:

.

Отсюда заключаем (т.к. ), что . Так как точки и выбраны произвольно, то это и доказывает, что в данный момент времени силы натяжения во всех точках равны между собой.

Так как мы пренебрегаем изменением длины любого участка струны, то в силу закона Гука неизменным остается и натяжение струны. Итак, мы показали, что в пределах выбранной точности есть величина постоянная .

Перейдем теперь к выводу уравнения колебаний струны. Выделим бесконечно малый участок струны , проектирующийся в интервале оси абсцисс (рис. 2.4).

Рис. 2.4. К выводу уравнения колебаний струны

На него действуют силы натяжения и , заменяющие влияние отброшенных частей струны. Как уже отмечалось, силы и направлены по касательным к струне в точках и ; величина этих сил постоянно равна . Определим сумму проекций этих сил на ось :

.

В силу того, что можно записать:

, .

Следовательно, имеем:

.

Здесь мы заменили частное приращение производной при переходе от аргументов к аргументам ее частным дифференциалом, т.е. .

Примечание. Если бы участок струны располагался как на рис. 2.2, то сумма проекций сил и равнялась бы ; но теперь , и результат будет такой же.

Равнодействующую внешних сил, приложенных к участку в момент времени , обозначим через . Согласно определению функции можно считать, что:

.

Направление равнодействующей определяется знаком функции .

После того как найдены все силы, действующие на участок , применим второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил (в силу малости участка мы рассматриваем его просто как материальную точку).

Так как масса участка струны равна , то, используя полученные выражения, имеем:

.

Сократив на и разделив все члены неравенства на , приведем полученное уравнение к виду:

, (2.1)

где – положительная постоянная величина. В результате получили линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Полученное уравнение называется уравнением колебаний струны или одномерными волновым уравнением. Это одно из простейших и в то же время важнейших дифференциальных уравнений математической физики. К нему сводится не только рассматриваемая задача, но и многие другие.

Если функция , то уравнение называется однородным; оно описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Если функция не равна тождественно нулю, то уравнение называется неоднородным; в этом случае рассматриваются вынужденные колебания струны. Когда на струну действуют только силы тяжести, а натяжение струны велико, можно пренебречь вторым слагаемым в правой части уравнения струны по сравнению с первым и рассматривать, таким образом, колебания струны как свободные.