Пример 4. Найдите область сходимости степенного ряда

Найдите область сходимости степенного ряда

Решение.

Найдем радиус сходимости:

. Следовательно, интервал сходимости:

или .

Исследуем сходимость на концах интервала:

1) . (1)

Для исследования ряда (1) применим предельный признак сравнения с гармоническим рядом .

Проверим выполнение признака:

.

Так как предел конечный и отличный от нуля, то ряд (1) сходится, так как сходится при s =2> 1 гармонический ряд.

2) . (2)

Применим к исследованию знакочередующегося ряда (2) признак Лейбница.

Так как абсолютные величины ряда (2) монотонно убывают и ,

то по признаку сходимости Лейбница данный ряд сходится.

Ответ: область сходимости .