2015-03-07
379
Найдите область сходимости степенного ряда 
Решение.
Найдем радиус сходимости:
. Следовательно, интервал сходимости:
или 
.
Исследуем сходимость на концах интервала:
1) 
. (1)
Для исследования ряда (1) применим предельный признак сравнения с гармоническим рядом 
.
Проверим выполнение признака:
.
Так как предел конечный и отличный от нуля, то ряд (1) сходится, так как сходится при s =2> 1 гармонический ряд.
2) 
. (2)
Применим к исследованию знакочередующегося ряда (2) признак Лейбница.
Так как абсолютные величины ряда (2) монотонно убывают и 
, 
то по признаку сходимости Лейбница данный ряд сходится.
Ответ: область сходимости 
.
