2015-03-07
1307
Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебаний. Удобнее всего считать, что струна начала колебаться в момент времени 
. Начальное положение точек струны задается условием:
, (2.2)
а начальная скорость:
, (2.3)
где 
и 
– заданные функции.
Записанные начальные условия аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения материальной точки нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.
Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны – в начале координат, а конец в точке 
), функция 
будет подчиняться условиям:
, 
. (2.4)
Сформулируем окончательную математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.
Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами:
(2.5)
при начальных условиях
, (2.6)
и краевых условиях
, . (2.7)
Функции и 
определены на интервале 
и, как следует из первого начального условия и краевых условий, 
.
