Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.
Рассматривая свободные колебания, необходимо решить однородное уравнение:
(2.8)
при начальных условиях
, , (2.9)
где функции и заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.
Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик:
распадается на два уравнения:
и ,
интегралами которых служат прямые:
, .
Введем новые переменные , и запишем волновое уравнение для переменных и .
Вычисляя производные
, ,
,
,
и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет:
. (2.10)
Интегрируя полученное равенство по при фиксированном , придем к равенству . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим:
|
|
, (2.11)
где и являются функциями только переменных и соответственно. Следовательно, переходя к переменным и , получим общее решение уравнения (2.8):
. (2.12)
Найдем функции и так, чтобы удовлетворялись начальные условия (2.9):
.
,
.
Интегрируя последнее равенство, получим:
,
где и – произвольные постоянные. Из системы уравнений:
находим
(2.13)
Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (2.8) найденные значения и , получим:
или
. (2.14)
Найденное решение (2.14) уравнения (2.8) с начальными условиями (2.9) называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения.