2015-03-07
1950
Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени (к задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня).
Если стержень совпадает с осью 
(рис.3.1), то математическая задача формулируется следующим образом. Найти решение уравнения:
(3.30)
в области 
, 
, удовлетворяющее начальному условию:
. (3.31)
Это задача Коши для уравнения теплопроводности.
Применим для нахождения решения метод разделения переменных, т.е. будем искать частное решение уравнения (3.30) в виде произведения двух функций:
. (3.32)
Подставляя в уравнение (3.30), будем иметь:
или:
. (3.33)
Каждое из этих отношений не может зависеть ни от 
, ни от 
, и потому их приравниваем к постоянной 
. Из (3.33) получаем два уравнения:
|
|
|
, (3.34)
. (3.35)
Решая их, найдем 
, 
.
Подставляя в (3.32) получаем:
, (3.36)
где постоянная 
включена в 
и 
.
Для каждого значения 
получаем решение вида (3.36). Произвольные постоянные 
и 
для каждого значения имеют определенные значения. Поэтому можно считать и функциями . В силу линейности уравнения (3.30) решением является также сумма решений вида (3.36):
. (3.37)
Интегрируя выражение (3.36) по параметру в пределах от 
до 
, также получим решение:
, (3.38)
если и таковы, что этот интеграл, его производная по и вторая производная по существуют и получаются путем дифференцирования интеграла по и . Подберем и так, чтобы решение 
удовлетворяло условию (3.31). Полагая в равенстве (3.38) 
, на основании условия (3.31) получаем:
. (3.39)
Предположим, что функция 
такова, что она представима интегралом Фурье: 
или
. (3.40)
Сравнивая правые части (3.39) и (3.40), получаем:
(3.41)
Подставляя найденные выражения и в формулу (3.38), получим:
или, переставляя порядок интегрирования, окончательно получим:
. (3.42)
Это и есть решение поставленной задачи.
Преобразуем формулу (3.42). Вычислим интеграл, стоящий в круглых скобках:
. (3.43)
Это преобразование интеграла сделано путем подстановок:
, 
. (3.44)
Обозначим:
. (3.45)
Дифференцируя, получаем: 
.
Интегрируя по частям, найдем:
или 
.
Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:
. (3.46)
Определим постоянную . Из (3.45) следует: 
(т.к. 
). Следовательно, в равенстве (3.46) должно быть 
.
Итак,
. (3.47)
Значение (3.47) интеграла (3.45) подставляем в (3.43):
.
Подставляя вместо 
его выражение (3.44), окончательно получаем значение интеграла (3.43):
. (3.48)
Подставив это выражение интеграла в решение (3.42), окончательно получим:
|
|
|
. (3.49)
Эта формула, называемая интегралом Пуассона, представляет собой решение поставленной задачи о распространении тепла в неограниченном стержне.
Установим физический смысл формулы (3.49). Рассмотрим функцию:
(3.50)
Тогда функция:
(3.51)
есть решение уравнения (3.30), принимающее при значение 
. Принимая во внимание (3.50), можем написать:
.
Применив теорему о среднем к последнему интегралу, получим:
, 
. (3.52)
Формула (3.52) дает значение температуры в точке стержня в любой момент времени, если при всюду в стержне температура 
, кроме отрезка 
, где она равна . Сумма температур вида (3.52) и дает решение (3.49). Заметим, что если 
– линейная плотность стержня; 
– теплоемкость материала, то количество тепла в элементе при будет:
. (3.53)
Рассмотрим далее функцию:
. (3.54)
Сравнивая ее с правой частью формулы (3.52) с учетом (3.53), говорят, что она дает значение температуры в любой точке стержня в любой момент времени , если при в сечении 
(предельный случай при 
) был мгновенный источник тепла с количеством тепла 
.
