Начальное и граничные условия

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия.

Начальное условие, в отличие от уравнения гиперболического типа состоит лишь в задании значений функции в начальный момент времени .

Граничные условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границах. Рассматривают три основных типа граничных условий.

1. На концах стержня задана температура:

, (3.20)

, (3.21)

где , – функции, заданные в некотором промежутке времени , в течение которого изучается процесс.

2. На концах стержня заданы значения производной:

, (3.22)

. (3.23)

К этому условию мы приходим, если задана величина теплового потока , протекающего через торцевое сечение стержня. Например, если для задана величина , то:

,

откуда , где – известная функция, выражающаяся через заданный поток формулой . Если или тождественно равны нулю, то говорят, что соответствующий конец стержня теплоизолирован.

3. На концах стержня заданы линейные отношения между функцией и ее производной:

, (3.24)

, (3.25)

где – известная функция – температура окружающей среды; – коэффициент теплообмена. Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, температура которой известна.

Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, вытекающего через сечение :

и ,

получаем математическую формулировку третьего граничного условия в виде:

, где .

Для конца стержня третье граничное условие имеет вид:

.

Граничные условия при и могут быть различных типов, так что число различных задач велико.

Первая краевая задача для ограниченного стержня состоит в следующем.

Найти решение уравнения теплопроводности:

при , , (3.26)

удовлетворяющее условиям:

, , (3.27)

, , , (3.28), (3.29)

где , , – заданные функции.

Физически условие (начальное условие) соответствует тому, что при в различных сечениях стержня задана температура, равная . Условия , (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при и поддерживается температура, равная и соответственно.

Т.е., как и для уравнений гиперболического типа, функция ищется только для и (но не при , и , , где значения функции заранее задаются начальными и граничными условиями).