Решение уравнения теплопроводности методом разделения переменных (методом Фурье)

Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности:

(3.61)

при граничных условиях:

, (3.62)

и при начальном условии:

, (3.63)

где – непрерывная, имеющая кусочно-непрерывную производную, обращается в нуль при и .

Согласно методу Фурье будем искать нетривиальные решения уравнения (3.61), удовлетворяющие граничным условиям (3.62) в виде:

. (3.64)

Подставляя (3.64) в (3.61), имеем:

или

,

откуда получаем два уравнения:

, (3.65)

. (3.66)

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (3.61) вида (3.64), удовлетворяющее граничным условиям (3.62), необходимо найти нетривиальное решение уравнения (3.66), удовлетворяющее граничным условиям:

, . (3.67)

Таким образом, для определения функций приходим к задаче о собственных значениях: найти решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями:

, , . (3.68)

Эта задача является частным случаем общей задачи Штурма-Лиувилля, заключающейся в отыскании решений линейного дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющих некоторым краевым условиям, т.е. условиям, налагаемым на искомую функцию или ее производную в точках и (концах интервала).

Нетривиальные решения задачи (3.68) возможны лишь при значениях (см. Приложение №1):

, (3.69)

Этим собственным числам соответствуют собственные функции:

. (3.70)

Значениям параметра соответствуют решения уравнения (3.65):

, (3.71)

где – произвольные постоянные.

Итак, все функции:

(3.72)

удовлетворяют уравнению (3.61) и граничным условиям (3.62) при любых постоянных . Составим ряд:

. (3.73)

Требуя выполнения начального условия (3.63), получим:

. (3.74)

Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в промежутке . Коэффициенты разложения определяются по известным формулам:

. (3.75)

Так как мы предположили, что функция непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в нуль при и , то ряд (3.74) с коэффициентами , определяемыми по формуле (3.75), равномерно и абсолютно сходится к функции . Так как при , то ряд (3.73) при также сходится абсолютно и равномерно. Поэтому функция , определяемая рядом (3.73), непрерывна в области , и удовлетворяет начальному и граничным условиям.

Остается показать, что функция удовлетворяет уравнению (3.61) в области , . Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (3.73) почленным дифференцированием по один раз и почленным дифференцированием по два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при , . При любом :

,

если достаточно велико.

Таким образом, для задача (3.61) – (3.63) поставлена корректно; напротив, для отрицательных задача эта некорректна.

Замечание. В отличие от волнового уравнения:

,

уравнение:

несимметрично относительно времени : если заменить на , то получаем уравнение другого вида:

.

Уравнение теплопроводности описывает необратимые процессы: можно предсказать, каким станет данное через промежуток времени длиной , но нельзя с уверенностью сказать, каким было это за время до рассматриваемого момента. Это различие между предсказанием и предысторией типично для параболического уравнения и не имеет места, например, для волнового уравнения: в случае последнего заглянуть в прошлое также легко, как и в будущее.