2015-03-07
2434
Рассмотрим подробнее примеры задач для уравнения теплопроводности.
Решить методом Фурье задачу:
, 
, 
, (3.76)
удовлетворяющую начальному условию:
. (3.77)
По виду граничных условий возможны следующие варианты постановки задач:
Задача А). Оба конца теплоизолированы.
Задача Б). На обоих концах поддерживается постоянная температура.
Задача В). Левый конец теплоизолирован, а на правом конце поддерживается постоянная температура.
В задачах А) и Б) собственные числа определяются выражением (см. Приложение №1):
, (3.78)
а соответствующие собственные функции равны:
. (3.79)
Но в задаче А) должны выполняться следующие условия:
, 
, (3.80)
. (3.81)
Таким образом, уравнению (3.76) и граничным условиям задачи А) (3.80) удовлетворяют функции:
. (3.82)
Решение имеет вид:
, (3.83)
а начальное условие:
, . (3.84)
Следовательно, необходимо разложить функцию 
, заданную на интервале , в неполный ряд Фурье – ряд косинусов. Коэффициенты разложения находятся по формуле (см. Приложение №2):
. (3.85)
Подставляя эти выражения для 
в (3.83), получим искомое решение задачи.
|
|
|
В задаче Б) должны выполняться следующие граничные условия:
, 
, (3.86)
откуда следует, что
, 
. (3.87)
Таким образом, уравнению (3.76) и граничным условиям задачи Б) (3.86) удовлетворяют функции:
. (3.88)
Решение имеет вид:
, (3.89)
а начальное условие:
, . (3.90)
Следовательно, необходимо разложить функцию , заданную на интервале , в неполный ряд Фурье – ряд синусов. Коэффициенты разложения находятся по формуле (см. Приложение №2):
. (3.91)
Подставляя эти выражения для 
в (3.89), получим искомое решение задачи.
В задаче В) собственные числа (см. Приложение №1)
, (3.92)
а соответствующие собственные функции определяются выражением:
. (3.93)
Граничные условия в задаче В) определяются выражениями:
, , (3.94)
откуда вытекает, что
, . (3.95)
Таким образом, уравнению (3.76) и граничным условиям задачи В) (3.94) удовлетворяют функции:
. (3.96)
Решение имеет вид:
, (3.97)
а начальное условие имеет вид:
, . (3.98)
Коэффициенты разложения функции находятся по формуле (см. Приложение №2):
. (3.99)
Подставляя данное выражение в (3.97), получаем искомое решение задачи.
