Поверхностная сила действует на элементы, которые можно мысленно выделить внутри тела или на его поверхности

Сила, действующая на бесконечно малый элемент поверхности dS, равна dS, где — вектор силы, рассчитанный на единицу площади элемента и приложенный в любой его точке, называется вектором напряжения или просто напряжением (см. рис. 1).

Напряжение зависит от положения элемента dS, т. е. от ориентировки его

в теле. Если требуется указать, что напряжение относится к площадке с нормалью п, то пишут .

Проекции этого вектора на оси произвольной системы координат Ох₁х₂х₃ обозначаются через σ_nj (j= 1, 2, 3). В частности, проекции напряжений _xi, отнесенные к площадкам, перпендикулярным к координатным осям Ox_i, обозначаются через σ_ij (i,j = 1,2,3), где σ_ii называются нормальными напряжениями,
а σ_ij = σ_ji (i≠j) — касательными напряжениями, действующими на этих площадках (рис. 5). Легко доказать следующие очень важные соотношения:

σ_nj = (i, j = 1,2,3), (1.29)

которые позволяют найти компоненты вектора напряжения для произвольной площадки с нормалью , проходящей через точку М; α_i = cos(n, х_i) (i = 1, 2, 3).

Поэтому говорят, что совокупность шести величин σ _ij, называемых компонентами симметричного тензора напряжений, полностью характеризует напряженное состояние в точке тела М.

Рис. 5. Расположение компонент тензора напряжений относительно выбранной декартовой системы координат

Рис. 6. Векторы напряжений в точке М, действующие в двух произвольно ориентированных площадках

Рис. 7. Нормальная и касательная проекции вектора напряжения

Пусть заданы две площадки, проходящие через одну и ту же точку М (рис. 6). Используя формулу (1.29), нетрудно доказать, что проекция напряжения , действующего на первую площадку, на нормаль ко второй равна проекции напряжения , действующего на вторую площадку, на нормаль к первой и вычисляется по формуле

(1.30)

где α₁_i и α₂_j — направляющие косинусы нормалей и .

Эта формула позволяет вычислить проекцию на любое направление вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности, проектируя вектор на направление нормали, получаем нормальное напряжение (рис. 7)

(1.31)

Касательное напряжение на этой же площадке равно

(1.32)

где σ_n — величина вектора напряжения .

Из формулы (1.30) следуют формулы перехода от одной системы Ох₁х₂х₃ координат к другой О ;

(1.33)

где σ'_к_r — компоненты тензора напряжений относительно новой системы координат;

α_к_i = cos (), α_rj = cos ().

Например, зависимость между напряжениями в декартовой (Ох₁х₂х₃) и цилиндрической (r, θ, z) системах координат с общей осью Ox₃ = Oz имеет вид

σ_rr = σ₁₁cos²θ + σ₂₂ sin²θ + σ₁₂ sin 2θ;

σ_θθ= σ₁₁ sin²θ + σ₂₂ cos²θ - σ₁₂ sin 2θ;

σ_zz = σ₃₃; (1.34)

σ_r_θ = (σ₂₂ - σ₁₁)sin 2θ + σ₁₂ cos2θ;

σ_rz = σ₁₃ cosθ + σ₂₃sin θ;

σ_θ_z= - σ₁₃ sinθ + σ₂₃ cosθ;

где σ_rr —радиальное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной к радиусу; σ_θθ — тангенциальное (окружное) напряжение, действующее на площадке, нормаль которой перпендикулярна к радиусу.

Принимая во внимание известные соотношения аналитической геометрии

из формул (1.33) после суммирования левой и правой частей по к (при r = к) получается важное соотношение

(1.35)

Оно показывает, что величина σ, называемая средним нормальным напряжением, инвариантна по отношению к преобразованию системы координат.

Характерной особенностью напряженного состояния сплошной среды является наличие в каждой точке тела, по крайней мере, трех взаимно перпендикулярных площадок, на которых касательные напряжения σ_ij (i≠j) равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют главные направления, которые не зависят от исходной системы координат. Соответствующие напряжения σ_ii=σ_i называются главными нормальными напряжениями. Поэтому любое напряженное состояние в рассматриваемой точке может быть вызвано растяжением (сжатием) окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Главные нормальные напряжения могут быть найдены из следующего кубического уравнения:

корни этого уравнения могут быть только вещественными.

Так как решения этого уравнения х_i = σ_i (i=1,2, 3) не зависят от выбора системы координат, коэффициенты σ, А, В также не должны зависеть, т. е. они инвариантны. Это еще одно доказательство инвариантности среднего напряжения

(1.36)

Два других инварианта физического смысла не имеют.

(1.37)

Рис. 8. Диаграмма Мора:

/, 2, 3 — окружности, координаты которых определяют нормальные и касательные напряжения на площадках, проходящих через главные оси 1, 2, 3 соответственно

Если главные направления совпадают с координатными осями (Ох_i), то формулы (1.31) — (1.34) упрощаются. Например, формулы (1.31) и (1.32) принимают вид

(1.38)

где α_i = cos (n, x_i).

Отсюда нетрудно получить, что напряжения р_п и τ_n могут лежать только внутри области, заштрихованной на рис.8. Это так называемая диаграмма Мора, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Здесь принята нумерация главных осей такой, чтобы выполнялись условия

σ₁≥ σ₂≥ σ₃ (1.39)

Практический интерес представляют сечения, проходящие через главные оси. На рис. 8 точкам какой-либо окружности 1, 2 или 3 отвечают площадки, содержащие соответствующую главную ось.

Если площадка содержит главную ось Ox₁ и наклонена под углом θ к оси Ох₂, то из формул (1.38) получается

Эти напряжения соответствуют координатам точек окружности № 1 (см. рис. 8).

По аналогии можно записать формулы для напряжений, действующих на площадках, проходящих через две другие главные оси, иначе, для координат точек окружностей № 2 и 3 на рис. 8.

При θ = π/4, т. е. в сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями, касательные напряжения принимают экстремальные значения