В декартовой системе координат

(i=1,2,3)

где проекции ускорения a_i вычисляют по формулам (1.6).

Эти уравнения, связывающие компоненты v_i вектора скорости и тензора напряжений { σ_ij }, являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды.

Если движения частиц происходят без ускорения (a_i =0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (2.9) называются дифферен­циальными уравнениями равновесия.

При непрерывном движении сплошной среды теорема момен­тов количества движения (2.7) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т. е. σ_ij = σ_ji. Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.

Интегральная теорема живых сил (2.8) эквивалентна следую­щему дифференциальному уравнению:

dТ = dЕ = dA^(e) (2.10)

где — соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объема сплошной среды;

— элементарная работа внешних объемных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды.

Уравнение (2.10) является следствием уравнений движения (2.9) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В об­щем случае оно не является законом сохранения энергии, но его мож­но так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не пере­ходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения энергии другого вида.