Уравнение неразрывности

Один из фундаментальных законов ньютоновской механики материальных тел - это закон сохранения массы т любого индивидуального объема, т. е. объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Этот закон заключается в том, что для любого индивидуального объема т = const или в иной форме

В механике сплошных сред почти всегда вместо массы рассматривается плотность ρ.

Для малого объема верно равенство Δ m ≈ ρΔ V, а для конечного объема — равенство , где интеграл взят по подвижному индивидуальному объему V.

Тогда закон сохранения массы т принимает вид

(2.1)

Здесь не только плотность ρ — функция от координат точек пространства и времени, но и объем V зависит от t. Принимая это во внимание при вычислении производной в равенстве (2.1), несложно получить равенство

и так как оно справедливо для любого индивидуального объема, то получим первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды

(2.2)

которое называется уравнением неразрывности в переменных Эйлера. Это уравнение накладывает ограничение на скорость точек сплошной среды и применяется при больших перемещениях точек среды.

Если воспользоваться формулой (1.5), то уравнение (2.2) можно переписать в виде

(2.3)

В цилиндрической системе координат (r, Θ, z) при осевой симметрии = (r, z) уравнение неразрывности принимает вид

Интересно, что уравнение (2.3) легко получить сразу, оставаясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора ρ сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произвольной формы. Нам известно [см. формулу (1.10)], что этот поток может быть представлен в виде

Он выражает массу среды, вытекающую за единицу времени из замкнутой поверхности S. Так как это повлечет за собой уменьшение плотности внутри S в единицу времени, равное (- dρ/dt), и соответственно изменение массы среды внутри S, равное

то

Отсюда следует уравнение (2.3).

Для несжимаемой жидкости dρ/dt (хотя ∂ρ/∂t≠ 0),уравнение неразрывности (2.2) приобретает вид

div =

В этом случае поток скорости через любую неподвижную замкнутую поверхность равен нулю, т. е. объем втекающей жидкости равен объему вытекающей. Применяя это свойство к замкнутой поверхности, образованной трубкой тока и ее нормальными сечениями, получим

v₁S₁=v₂S₂.

Конечно, не существует сред, в строгом смысле действительно несжимаемых, однако весьма часто в инженерной практике предположение о постоянстве ρ приводит к значительному упрощению задачи и почти не вносит ошибки.

Для стационарных движений ∂ρ/∂t = O, уравнение неразрывности получает вид

div ρ = 0или

Уравнение (2.2) или (2.3) справедливо для любой однородной сплошной среды, когда нет поглощений массы, химических реакций, внутренней диффузии и других процессов, связанных с влиянием окружающих тел. Однако оно легко обобщается для многокомпонентных смесей или многофазных сред с учетом различного взаимного влияния компонентов (или фаз).

Для этого всякий индивидуальный объем можно представить как совокупность п континуумов, каждый из которых имеет свою плотность ρ_1, ρ₂,..., ρ_n и свою скорость , , …, . Если в смеси не происходит химических реакций и других процессов взаимных превращений, то для каждого компонента смеси должен выполняться закон сохранения массы

или

Если же в смеси происходят химические реакции, то массы компонентов т_i могут меняться. Пусть γ _i — изменение массы т_i i -го компонента смеси в единицу времени на единицу объема за счет химической реакции. Тогда уравнение неразрывности для компонента смеси можно записать в виде

или (2.4)