Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

В декартовой системе координат вихрь скорости вычисляется по формуле




В декартовой системе координат дивергенция скорости вычисляется по формуле

Видно, что дивергенция скорости определяет скорость объемного расширения жидкости в бесконечно малой окрестности данной точки.

Поэтому поток скорости через замкнутую поверхность S должен быть равен расширению всего объема V жидкости внутри S, т. е.

(1.10)

Это равенство называется формулой Гаусса.

Если в поле мысленно проведен какой-либо замкнутый контур L, ограничивающий некоторую поверхность S, то линейный интеграл

называется циркуляцией скорости,а вектор, определяемый в виде

называется вихремили ротором скорости.
Здесь , — единичные векторы, направленные соответственно по касательной к L и по нормали к поверхности S.

В декартовой системе координат вихрь скорости вычисляется по формуле

На основании теоремы Стокса имеет место равенство

В том случае, когда все проекции скорости могут быть определены одной функцией φ(xl, x2, x3, t) в виде , т.е. = grad φ, то говорят, что поле скоростей потенциальное, функция φ — потенциал скорости.

Проекция скорости v1, на любое направление l определяется производной dφ/dl.

Необходимым и достаточным условием существования потенциальных течений являются равенства

иначе, rot = 0.
Следовательно, безвихревое течение жидкости потенциально.

§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИЙ

Характерной чертой движения сплошной среды является ее

деформация - это изменение расстояния между отдельными точками среды.

Можно доказать, что удлинение (или укорочение) произвольно направленного единичного отрезка , проходящего через какую-либо точку М(х1, х2, х3)среды, вычисляется по формуле

(1.16)

где αij= — направляющие косинусы отрезка; εii — удлинения (укорочения) единичных отрезков, направленных параллельно координатным осям oxi; εij = εji(i≠j) — изменения первоначально прямых углов, образованных отрезками, направленными параллельно координатным осям oxi и охj.

Таким образом, деформация элементарного объема среды в окрестности точки М полностью определяется шестью величинами εij, которые называются компонентами тензора деформаций.

Для малых (по сравнению с единицей) деформаций верны следующие соотношения Коши:

в декартовой системе координат

(i,j=1, 2, 3), (1.17)

где ui , uj — компоненты вектора перемещения в точке М.

В цилиндрической системе координат (r, Θ, z) при осевой симметрии

(1.18)

Компоненты вектора перемещений ur, uΘ, uz связаны с компонентами

ui (i=1, 2, 3) обычными соотношениями преобразования координат при повороте системы вокруг оси oz:




ur= u1cos Θ + u2sin Θ,

uΘ= - u1 sin Θ + u2cos Θ,

uz= u3.

Если иметь в виду связь между координатами x1= r cos Θ, x2 = r sin Θ и x3 = z, то доказать справедливость перехода от формул (1.17) к формулам (1.18), или наоборот, не представляет труда.

Так как деформация отрезка не зависит от выбора направлений координатных осей, то правая часть в формуле (1.16) инвариантна преобразованию системы координат, т. е.

(1.19)

где и — направляющие косинусы и компоненты деформаций в новой системе координат. Для вычисления через εij, достаточно в равенстве (1.19) выразить через αi и сравнить коэффициенты при одинаковых αi, αj.

В любой точке тела всегда существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных направлений, таких, что деформация элемента в окрестности точки определяется только удлинением (укорочением) εii = εi вдоль этих направлений без изменения прямых углов (εij = 0, i≠j). Такие направления называются главными осями деформаций, а величины εi (i = 1, 2, 3) — главными удлинениями, которые могут быть найдены из следующего кубического уравнения:

где символ Кронекера.

Ясно, что коэффициенты этого уравнения не зависят от выбора системы координат, т. е. они инвариантны. Первый коэффициент ε этого уравнения

(1.20)

и имеет простой геометрический смысл — относительное изменение объема в окрестности точки. Коэффициенты а и b геометрического смысла не имеют и поэтому не являются характеристикой деформаций.



Характеристикой искажения формы элемента сплошной среды служит инвариантная величина

называемая интенсивностью деформаций сдвига.

Величины γ1= ε2 - ε3, γ2= ε3 – ε1, γ3= ε1 – ε2 называются главными сдвигами.

Известно приближенное соотношение

Г=1,08γmах,

где γmах — наибольший из главных сдвигов.

В произвольной декартовой системе координат величина Г вычисляется по формуле

Г (1.21)

Иногда пользуются величиной εu = Г, называемой приведенной деформацией или интенсивностью деформаций.

Для характеристики деформационного состояния служит параметр Надаи

(1.22)

который изменяется в пределах от -1 (при чистом удлинении) до +1 (при частичном укорочении). В случае чистого сдвига με = 0. При всестороннем расширении (или сжатии) μεсмысла не имеет.

Часто удобно пользоваться следующим представлением компонент деформаций:

, (1.23)

где eij — компоненты, характеризующие только деформации сдвига, называемые компонентами девиатора деформаций,

δij—символ Кронекера.
Отсюда следует, что компоненты тензора деформациирастяжения (сжатия) εii отличаются от соответствующих компонент девиатора еii на 1/3 объемной деформации, а компоненты деформации сдвига не отличаются, т. е.

Если известны компоненты деформации εij как функции декартовых координат хi, то для однозначного определения 3-х компонент ui вектора перемещений из 6-ти соотношений (1.17) необходимо и достаточно, чтобы функции εij удовлетворяли условиям совместимости (или неразрывности) деформаций Сен-Венана:

(1.24)

и т. д., всего 6 условий (остальные получаются из выписанных круговой заменой индексов 1→2→3→1).

Таким образом, условия совместимости (1.24) являются уравнениями, которые связывают компоненты εij тензора деформаций.

Для анализа больших деформаций, если главные оси при деформации не поворачиваются, используются так называемые натуральные удлинения (укорочения)

где li0, li —начальные и текущие длины элемента в соответствующих направлениях.

Характерные соотношения для малых деформаций являются справедливыми и для натуральных удлинений.

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

О СКОРОСТЯХ ДЕФОРМАЦИЙ

Если скорость частиц сплошной среды = (v 1, v2, v3), то за бесконечно малый промежуток времени dt среда испытывает бесконечно малую деформацию, определяемую перемещениями ui = vidt(i = 1, 2, 3). Компоненты этих деформаций, вычисленные по формулам (1.17), имеют общий множитель dt, разделив на который, получим

(1.25)

где ξij —компоненты тензора скоростей деформаций.

Величины ξii определяют скорости удлинения (укорочения) единичных отрезков в направлениях охi, ξij(i≠j)— угловые скорости изменения первоначально прямых углов, составленных единичными отрезками вдоль координатных осей.

Подобно формуле (1.16) скорость удлинения (укорочения) любого единичного отрезка вычисляется по формуле

Аналогично соотношениям (1.20) — (1.22) инвариантами скорости деформации являются:

а) скорость относительного объемного расширения (сжатия)

(1.26)

б) интенсивность скоростей деформации сдвига относительно главных осей

(1.27)

где , , — главные скорости сдвигов (относительно произвольной системы координат Н выражается формулой (1.21));

в) параметр Надаи .

Компоненты скорости деформации ξij, как и компоненты деформации εij, не могут быть произвольными. Они должны удовлетворять условиям совместимости, аналогичным условиям (1.24).

Подобно представлению (1.23) для компонент тензора {ξij} скоростей деформаций верно соотношение

(1.28)

где λij — компоненты, характеризующие только скорости деформации сдвига, называемые компонентами девиатора скорости деформаций.

§ 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ





Дата добавления: 2015-03-08; просмотров: 767; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9355 - | 7421 - или читать все...

Читайте также:

  1. A. Раздел биомеханики, в котором исследуется движение крови по сосудистой системе
  2. CRM. Перечень решаемых в системе задач. Преимущества системы
  3. Cущность и функции финансов, роль в системе денежных отношений рыночного хозяйства
  4. III. ЗАДАНИЕ. 1. Построить график функции: , где с шагом 0.01 и 0.03 в декартовой системе координат
  5. PR в коммуникационной системе маркетинга
  6. А НЕ О СИСТЕМЕ: КОРОТКАЯ ПОЗИЦИЯ ПО ФУНТУ СТЕРЛИНГОВ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФЬЮЧЕРСЫ
  7. А скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле
  8. Аварии в системе теплоснабжения
  9. Автоматические мосты с регулирующими устройствами. Двухкоординатные автоматические самописцы
  10. Административно-процессуальные нормы в системе норм права
  11. Альтернативистика: её мировоззренческие, методологические и целевые координаты
  12. Анализ (самоанализ) полученных результатов по системе «ЛИДЕР»


 

18.204.227.250 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.009 сек.