2015-03-08
1651
Определение 8.1. Алгебраическое произведение A и B обозначается A⋅B и определяется так:
.
Определение 8.2. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается 
и определяется так: 
Для операций 
выполняются свойства:
- коммутативность;
- ассоциативность;
- теоремы де Моргана.
Не выполняются:
- идемпотентность;
- дистрибутивность;
а также 
,
Для примера докажем свойство: 
. Обозначим µ A (x) через a, µ B (x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1- ab, а в правой: (1- a)+(1- b)-(1- a)(1- b)=1 – a +1- b -1+ a + b-ab =1- ab. Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. 
. Для левой части имеем: a (b + c-bc)= ab + ac-abc; для правой: ab + ac -(ab)(ac)= ab + ac + a2bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a ≠ a 2.
Замечание. При совместном использовании операций {∪, ∩,+,⋅} выполняются свойства:
А⋅(B È C)=(A⋅B) È (A⋅C);
А⋅(B Ç C)=(A⋅B) Ç (A⋅C);
А (B È C)=(A⋅B) È (A⋅C);
А⋅(B Ç C)=(A⋅B) Ç (A⋅C).
Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами. На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере, для целых α эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень α нечеткого множества A, где α - положительное число. Нечеткое множество A α определяется функцией принадлежности µ A α = µα A(x). Частным случаем возведения в степень являются: CON(A)= A 2- операция концентрирования, DIL(A)= A 0,5- операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.
|
|
|
Определение 8.3. Умножение на число. Если α - положительное число, такое, что 
, то нечеткое множество α A имеет функцию принадлежности: µαA(x) = αµA(x).
Выпуклая комбинация нечетких множеств.
Пусть A1, A2,.., An - нечеткие множества универсального множества E, а ω 1, ω 2,..., ω n - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.
Определение 8.4. Выпуклой комбинацией A1, A2,.., An называется нечеткое множество A с функцией принадлежности: 
.
Декартово произведение нечетких множеств.
Определение 8.5. Пусть A1, A2,..., An - нечеткие подмножества универсальных множеств E1,E2,...,En соответственно. Декартово произведение A=A1×A2 ×...×An является нечетким подмножеством множества E=E1×E2×...×En с функцией принадлежности: 
.
Определение 8.6. Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех x ∈ E определены нечеткие множества K(х).
Определение 8.7. Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:
|
|
|
где µA(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.
Пример:
E = {1,2,3,4};
A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;
K(1) = 1/1+0,4/2;
K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;
K(3) = 1/3+0,5/4;
K(4) = 1/4.
Тогда Ф(A,K) = µA(1) K(1) ∪µA(2)K(2) ∪µA(3)K(3) ∪µA(4)K(4) = 0,8(1/1+0,4/2) ∪ 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) = 0,8/1+0,6/2+0,24/3.
Определение 8.8. Четкое множество α -уровня (или уровня α ). Множеством α-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество Aα универсального множества E, определяемое в виде: Aα ={ x /µ A(x)≥α}, где α≤1. Пример:
A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4, тогда A0.3 = { x 3, x 4}, A0.7 = { x 4}. Достаточно очевидное свойство: если α1 ≥α2, то Aα1≤ Aα2.
Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:
- произведение числа α на множество A, и α "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A. Пример:
A = 0,1/ x 1 + 0/ x 2 + 0,7/ x 3 + 1/ x 4 представимо в виде:
A = 0,1(1,0,1,1) ∪ 0,7(0,0,1,1,) ∪ 1(0,0,0,1)= = (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)∪ (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)∪ ∪(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4.
Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций α1≤ α2≤ α3≤...≤ αn, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:
, т.е. определяется совокупностью обычных множеств { Aα1, Aα2,..., Aαi}, где Aα1 ≥Aα2≥,..., ≥Aαi.
