2015-03-07
2163
Мембраной называется натянутая плоская пленка не сопротивл. изгибу и сдвигу.
Но оказывает сопротивление растяжению. Будем рассматривать малые поперечные колебания мембраны, в которых смещен. перпендикуляр плоскости ОХУ и квадратами величин Ux и Uy можно пренебречь в сравнении с 1
величина смещения точки (х,у) в момент времени t
|
dS – элемент дуги некоторого контура, лежащего на поверхности мембраны.
Пусть М точка этого элемента на которой действует сила натяжения TdS. Отсутствие сопротивления мембраны изгибу и сдвигу математически выражается в том, что вектор натяж. Т лежит в плоскости касательной мембраны в т. М и 
элементу dS, а величина натяжения Т не зависит от направления элемента dS, содержащего т. М.
Из этого вытекает
|
1. Проекция вектора натяжения на плоскость ОХУ = Тпр
2. Сила натяжения Т не зависит от времени t
Найдем площадь возмущенной мембраны
- функция задающая возмущен. мембрану в момент времени t, тогда
- проекция кусочка возмущенной мембраны на пл-ть ОХУ
|
|
|
Площадь возмущения куска мембраны = S невозмущен., т.е. площадь фиксированного участка мембраны не смещается со временем (участок не растягивается).
В силу закона Гука сила натяжен. Т не зависит от времени t
3. Сила натяжения Т не зависит не от х не от у
|
Причем последнее равенство выполнено для любых точек x1; x2 и y1; y2
Т(x,y1) = Т(x,y2) и Т(x1,y) = Т(x2,y)
Т(x,y) не зависит не от х и не от у
Получим уравнение малых поперечных колебаний мембраны:
Общее количество движения:
f(x,y,t) – плотность равнодействующей внешних сил, действующих на мембрану
- работа соверш. внешними силами
Работа, которую совершает сила натяжения, за время от t1 до t2 будет равна
По закону сохранения энергии получаем уравнение
-
Это и есть уравнение малых поперечных мембран в интегрированной форме
- дважды непрерывно дифференц.
По теореме о среднем и по теореме Лагранжа, получаем как и выше диф. уравнение малых поперечных колебаний мембраны
- двумерное волновое уравнение
Вообще говоря гипербол. типа
