Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня

5 6 7 8 9 10 11

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ, введем обозначения:

S (x) – площадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной ОХ,

k (x) и ρ(x) – модуль Юнга и плотность сечения с абсциссой х,

U (x, t) – величина отклонения сечения (вдоль стержня) с абсциссой х в момент времени t.

При этом предполагается, что величина отклонений всех точек сечения одинакова. Рассмотрим малые продольные колебания.

Малые – такие продольные колебания, при которых возникающее натяжение подчиняется закону Гука.

Подсчитаем фигурирующие формулировки закона Гука, относительно удлинения участка от х до х +Δ х в момент времени t:

тогда

Пусть f (x, t) – плотность равнодействующих внешних сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси ОХ. По закону сохранения энергии изменение количества движения участка стержня [ x ₁, x ₂] за время равно импульсу действующих сил, которые в рассматриваемом случае складываются из сил натяжения Т (x) и внешних сил

- это уравнение малых продольных колебаний стержня в интегральной форме в рамках описанной выше модели.

Если сравнить с уравнением колеб. малой поперечной струны в интегральной форме они почти ничем не отличаются переход от интегральной к диференц. происходит аналогично.

Предположение, что U(x,t) - дважды непрерывно дифференцир., T(x), S(x), k(x) –непрерывн. производн. 1-го порядка, по теореме Лагранжа о конечных приращен и по интегральн. теореме о среднем получаем, как и выше