Уравнение полных поперечных колебаний струны

Струна – упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но оказывающая сопротивление растяжению, т.е. напряжение, возникающее в струне, всегда направлено по касательной к ее???новенному профилю. Будем считать, что струна расположена вдоль оси ОХ. Движение струны происходит только в одной плоскости, в этой плоскости каждая точка струны движется в направлении, перпендикулярном оси ОХ. Функция смещения струны U (x, t) – величина отклонения точки струны с координатой x в момент времени t, угловые коэффициенты касательной к линии прогиба достаточно малы, т.е. струна совершает малые колебания.

– малые

U (x, t) – функция положения струны

Построим дифференциальное уравнение, которому будет удовлетворять функция U (x, t).

В момент времени t длина струны: длина струны не меняется со временем (струна не растяжима) => по закону Гука величина силы натяжения струны не меняется со временем, т.е.

Т = Т (х) – сила натяжения струны зависит только от х.

На струну могут действовать внешние силы, обозначим f (x, t) – плотность равнодействующих внешних сил, действующих на струну в направлении оси OU.