Тема 3 Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтера

.Сведение дифференциальных уравнений к интегральным.

В ряде случаев решение того или иного дифференциального уравнения целесообразно сводить к решению интегрального уравнения.

Например, для доказательства существования и единственности решения дифференциального уравнения

с начальным условием удобно свести его к интегральному уравнению (нелинейному)

Сведение к интегральному уравнению возможно и для дифференциальных уравнений выше первого порядка.

Рассмотрим, например, уравнение второго порядка

Положив

Как известно, решение уравнения

Можно представить в виде

Поэтому, нахождение решения уравнения (1.9) сводится к решению интегрального уравнения

-------------------------------------------------------------------------------------------------

. Сведение дифференциальных уравнений к интегральным.

В ряде случаев решение того или иного дифференциального уравнения целесообразно сводить к решению интегрального уравнения. Например, для доказательства существования и единственности решения дифференциального уравнения

с начальным условием удобно свести его к интегральному уравнению (нелинейному)

Сведение к интегральному уравнению возможно и для дифференциальных уравнений выше первого порядка.

Рассмотрим, например, уравнение второго порядка

Положив

Как известно, решение уравнения

Можно представить в виде

Поэтому, нахождение решения уравнения (1.9) сводится к решению интегрального уравнения

Рассмотрим пример решения уравнения Вольтерра методом дифференцирования.

y(x) + =

Решение

Дифференцируя дважды по x, получаем:

(x) + 2y(x)+ = 2x

(x) + 2 (x) + y(x) = 2 ……(1)

При x=0: y(0) =0 и (0)=0…….(2)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения 2-го порядка имеет вид: + 2k + 1 = 0

Его корни = = - 1

Общее решение для соответствующего однородного уравнения имеет вид:

Y(x) = ( + x)

Найдем частное решение неоднородного уравнения по виду правой части:

Ф (х) = А, где А=2

Общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = Y(x) + ф(x)

y(x) = ( + x) +2 …..(3)

Найдем производную (x) = - ( + x) +

Из условий (2) найдем при x=0:

y(0) = ( + 0) +2 = 0, = -2

(0) = - + = 0, = -2

Окончательно, y(x) = -2 (1+x) +2

2/.Решить уравнение

Продифференцируем уравнение дважды:

Решая получившиеся дифференциальное уравнение, с учетом условий

находим

Задание для самостоятельной работы:

Методом дифференцирования решить следующие интегральные уравнения

1)

2)

3)

4)