Взаимное расположение прямых

1.2.1. Пусть прямые l ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁=0 и l ₂: A ₂ x + B ₂ y + C ₂=0 заданы своими общими уравнениями. Тогда:

а) они параллельны тогда и только тогда, когда = , при этом они совпадают тогда и только тогда, когда это отношение равно и не совпадают тогда и только тогда, когда это отношение не равно ;

б) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда A ₁ A ₂+ B ₁ B ₂ =0.

1.2.2. Из 1.2.1 следует, что если ≠ , то прямые l ₁ и l ₂ пересекаются в единственной точке (x ₁, y ₁), которая является решением системы

1.2.3. Если прямые l ₁ и l ₂ заданы своими общими уравнениями (см. 1.2.1), то угол между ними можно найти из соотношения

cos()= , (1.8)

где =(A ₁, B ₁), =(A ₂, B ₂).

1.2.4. Упражнение. Выяснить взаимное расположение прямых:

а) l ₁: 2 x -3 y +4=0; l ₂: 4 x -6 y +8=0; l ₃: 6 x -9 y -12=0; l ₄: 3 x +2 y -5=0;

l ₅: x +2 y +1=0;

б) l ₁: 4 x -3 y -9=0; l ₂: 3 x +4 y -8=0; l ₃: 2 x + y -4=0; l ₄: 8 x +4 y +12=0;

l ₅: 8 x +4 y -16=0.

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними. Если прямые не параллельны, то найти точку их пересечения.

Решение. а) l ₁ и l ₂: = = . Поэтому прямые l ₁ и l ₂ совпадают.

l ₁ и l ₃: = ≠ . Поэтому прямые l ₁ и l ₃ параллельны, но не совпадают.

l ₁ и l ₄: 2×3+(-3)×2=0. Поэтому прямые l ₁ и l ₄ перпендикулярны.

l ₁ и l ₅: ≠ и 2×1+(-3)×2≠0. Поэтому прямые ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними. Имеем (по формуле (1.8))

cos()=cos()= = »0,4961.

Тогда ()»arccos0,4961»1,05 (радиан).

Найдём точку пересечения прямых l ₁ и l ₅. Для этого решаем систему

Û Û Û

Таким образом - точка пересечения прямых l ₁ и l ₅.

Аналогично исследуется взаимное расположение пар прямых (l ₂, l ₃), (l ₂, l ₄), (l ₂, l ₅), (l ₃, l ₄), (l ₃, l ₅), (l ₄, l ₅) (довести до конца!).

Ответ: а) Прямые l ₁ и l ₂ совпадают, l ₁ и l ₃ - параллельны и не совпадают, прямые l ₁ и l ₄ перпендикулярны, угол между прямыми l ₁ и l ₅ равен»1,05 радиан, - точка пересечения прямых l ₁ и l ₅.