2015-03-08
2893
1.2.1. Пусть прямые l 1: A 1 x + B 1 y + C 1=0 и l 2: A 2 x + B 2 y + C 2=0 заданы своими общими уравнениями. Тогда:
а) они параллельны тогда и только тогда, когда 
= 
, при этом они совпадают тогда и только тогда, когда это отношение равно 
и не совпадают тогда и только тогда, когда это отношение не равно ;
б) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда A 1 A 2+ B 1 B 2 =0.
1.2.2. Из 1.2.1 следует, что если ≠ , то прямые l 1 и l 2 пересекаются в единственной точке (x 1, y 1), которая является решением системы
1.2.3. Если прямые l 1 и l 2 заданы своими общими уравнениями (см. 1.2.1), то угол между ними можно найти из соотношения
cos(
)= 
, (1.8)
где 
=(A 1, B 1), 
=(A 2, B 2).
1.2.4. Упражнение. Выяснить взаимное расположение прямых:
а) l 1: 2 x -3 y +4=0; l 2: 4 x -6 y +8=0; l 3: 6 x -9 y -12=0; l 4: 3 x +2 y -5=0;
l 5: x +2 y +1=0;
б) l 1: 4 x -3 y -9=0; l 2: 3 x +4 y -8=0; l 3: 2 x + y -4=0; l 4: 8 x +4 y +12=0;
l 5: 8 x +4 y -16=0.
В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними. Если прямые не параллельны, то найти точку их пересечения.
Решение. а) l 1 и l 2: 
= 
= 
. Поэтому прямые l 1 и l 2 совпадают.
l 1 и l 3: 
= 
≠ 
. Поэтому прямые l 1 и l 3 параллельны, но не совпадают.
l 1 и l 4: 2×3+(-3)×2=0. Поэтому прямые l 1 и l 4 перпендикулярны.
l 1 и l 5: 
≠ 
и 2×1+(-3)×2≠0. Поэтому прямые ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними. Имеем (по формуле (1.8))
cos(
)=cos(
)= 
= 
»0,4961.
Тогда ()»arccos0,4961»1,05 (радиан).
Найдём точку пересечения прямых l 1 и l 5. Для этого решаем систему
Û 
Û 
Û 
Таким образом 
- точка пересечения прямых l 1 и l 5.
Аналогично исследуется взаимное расположение пар прямых (l 2, l 3), (l 2, l 4), (l 2, l 5), (l 3, l 4), (l 3, l 5), (l 4, l 5) (довести до конца!).
Ответ: а) Прямые l 1 и l 2 совпадают, l 1 и l 3 - параллельны и не совпадают, прямые l 1 и l 4 перпендикулярны, угол между прямыми l 1 и l 5 равен»1,05 радиан, - точка пересечения прямых l 1 и l 5.
