2015-03-08
1112
1) Относительно системы координат написать уравнения прямых, которые проходят через точку N (4; -1) и:
- параллельна прямой l 1;
- перпендикулярна прямой l 2;
- образует угол a с прямой l 3:
а) l 1: 2 x -5 y +8=0; l 2: 3 x + y -6=0; a = 
, l 3: y =5 x +6;
б) l 1: x +8 y -5=0; l 2: -6 x + y +3=0; a = 
, l 3: y =4 x -8.
Решение. а) Найдём уравнение прямой, параллельной l 1.
I способ. Если прямая l: Ax + By + C =0 параллельна l 1: 2 x -5 y +8=0, то 
= 
. Можно считать, что A =2 и B =5, то есть 2 x -5 y + C =0. Так как l проходит через точку N (4; -1), то координаты N удовлетворяют уравнению прямой: 2×4-5×(-1)+ C =0. Отсюда C =-13. Следовательно, 2 x -5 y -13=0 - искомое уравнение прямой.
II способ. Если прямые параллельны, то их перпендикуляр - общий. В частности, их нормаль общая, то есть 
=(2; -5) - общая нормаль для искомой прямой и l 1. Поэтому уравнение искомой прямой - 2(x -4)-5(y +1)=0, или 2 x -5 y -13=0.
Найдём уравнение прямой, перпендикулярной l 2. Ясно, что нормаль для l 2 является направляющей для искомой. Поэтому 
= 
- искомое уравнение.
Для нахождения уравнения прямой, убразующей угол с прямой y =5 x +6, напишем его уравнение в общем виде: 5 x - y +6=0. Пусть l: Ax + By + C =0 - искомая прямая (уравнение прямой). Можно считать, что A =1 (если это не так, то уравнение делим на A). Поэтому
|
|
|
cos(
)= 
= 
(в качестве угла между прямыми берём острый угол, и тогда знаки модуля можно опускать). Так как ()= , то cos()=cos = 
и приходим к уравнению = , которое решаем:
= Û 10-2 B = 
Û 100-40 B +4 B 2=52+52 B 2 Û
Û 48 B 2+40 B -48=0 Û 6 B 2+5 B -6=0.
Решаем последнее квадратное уравнение:
D =52-4×6×(-6)=169, B 1, 2= 
= 
, B 1=- 
, B 2= 
.
Таким образом, x - y + C =0 и x + y + C =0 или, соответственно 2 x -3 y +2 C =0 и 3 x +2 y +3 C =0 - уравнения искомых прямых. Найдём C для обоих уравнений: 2×4-3×(-1)+2 C =0, откуда C =- 
, и 3×4-2×(-1)+2 C =0, откуда C =-7. Таким образом, 2 x -3 y -11=0 и 3 x +2 y -14=0 - искомые уравнения прямых.
Ответ: а) 2 x -5 y -13=0 - уравнение прямой, проходящей через точку N (4; -1) и параллельной l 1;
= - уравнение прямой, проходящей через точку N (4; -1) и перпендикулярной l 2;
2 x -3 y -11=0 и 3 x +2 y -14=0 - уравнения прямых, образующих угол с прямой l 3 и проходящей через точку N (4; -1).
2) Даны вершины треугольника ABC. Составить: уравнения сторон треугольника; уравнения прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; уравнения высот. Найти длины высот:
а) A (3; 2), B (4; -1), С (2; 8);
б) A (1; 2), B (2; 1), С (2; 8);
Решение. а) Уравнения сторон будем искать как уравнения прямых, проходящих через (две) вершины. Найдём уравнение стороны AB:
= 
Û 
= 
,
то есть = - уравнение стороны AB (в каноническом виде). Напишем уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB. Ясно, что вектор 
=(1; -3) является направляющим для этой прямой. Поэтому её уравнение: 
= 
.
Напишем уравнение высоты, опущенной из вершины C. Эта высота перпендикулярна стороне AB, то есть вектор является нормалью для этой высоты. Поэтому её уравнение x +2-3(y +8)=0 Û x -3 y -22=0.
|
|
|
Длину высоты hc, опущенной из вершины C будем искать как расстояние от точки C до прямой AB. Для этого уравнение прямой AB приведём к общему виду:
= Û -3(x -3)= y -2 Û -3 x - y +11=0 Û 3 x + y -11=0.
Тогда
hc = r (C, AB)= 
= 
= 
.
Аналогично находятся остальные прямые и длины высот (требуемые по условию задачи) (довести до конца!)
Ответ: а) = , 3 x + y -11=0 - уравнения стороны AB;
= - уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;
x -3 y -22=0 - уравнение высоты, опущенной из вершины C;
- длина высоты, опущенной из вершины C.
