Упражнения. 1) Относительно системы координат написать уравнения прямых, которые проходят через точку N(4; -1) и

1) Относительно системы координат написать уравнения прямых, которые проходят через точку N (4; -1) и:

- параллельна прямой l ₁;

- перпендикулярна прямой l ₂;

- образует угол a с прямой l ₃:

а) l ₁: 2 x -5 y +8=0; l ₂: 3 x + y -6=0; a = , l ₃: y =5 x +6;

б) l ₁: x +8 y -5=0; l ₂: -6 x + y +3=0; a = , l ₃: y =4 x -8.

Решение. а) Найдём уравнение прямой, параллельной l ₁.

I способ. Если прямая l: Ax + By + C =0 параллельна l ₁: 2 x -5 y +8=0, то = . Можно считать, что A =2 и B =5, то есть 2 x -5 y + C =0. Так как l проходит через точку N (4; -1), то координаты N удовлетворяют уравнению прямой: 2×4-5×(-1)+ C =0. Отсюда C =-13. Следовательно, 2 x -5 y -13=0 - искомое уравнение прямой.

II способ. Если прямые параллельны, то их перпендикуляр - общий. В частности, их нормаль общая, то есть =(2; -5) - общая нормаль для искомой прямой и l ₁. Поэтому уравнение искомой прямой - 2(x -4)-5(y +1)=0, или 2 x -5 y -13=0.

Найдём уравнение прямой, перпендикулярной l ₂. Ясно, что нормаль для l ₂ является направляющей для искомой. Поэтому = - искомое уравнение.

Для нахождения уравнения прямой, убразующей угол с прямой y =5 x +6, напишем его уравнение в общем виде: 5 x - y +6=0. Пусть l: Ax + By + C =0 - искомая прямая (уравнение прямой). Можно считать, что A =1 (если это не так, то уравнение делим на A). Поэтому

cos()= =

(в качестве угла между прямыми берём острый угол, и тогда знаки модуля можно опускать). Так как ()= , то cos()=cos = и приходим к уравнению = , которое решаем:

= Û 10-2 B = Û 100-40 B +4 B ²=52+52 B ² Û

Û 48 B ²+40 B -48=0 Û 6 B ²+5 B -6=0.

Решаем последнее квадратное уравнение:

D =52-4×6×(-6)=169, B _{1, 2}= = , B ₁=- , B ₂= .

Таким образом, x - y + C =0 и x + y + C =0 или, соответственно 2 x -3 y +2 C =0 и 3 x +2 y +3 C =0 - уравнения искомых прямых. Найдём C для обоих уравнений: 2×4-3×(-1)+2 C =0, откуда C =- , и 3×4-2×(-1)+2 C =0, откуда C =-7. Таким образом, 2 x -3 y -11=0 и 3 x +2 y -14=0 - искомые уравнения прямых.

Ответ: а) 2 x -5 y -13=0 - уравнение прямой, проходящей через точку N (4; -1) и параллельной l ₁;

= - уравнение прямой, проходящей через точку N (4; -1) и перпендикулярной l ₂;

2 x -3 y -11=0 и 3 x +2 y -14=0 - уравнения прямых, образующих угол с прямой l ₃ и проходящей через точку N (4; -1).

2) Даны вершины треугольника ABC. Составить: уравнения сторон треугольника; уравнения прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; уравнения высот. Найти длины высот:

а) A (3; 2), B (4; -1), С (2; 8);

б) A (1; 2), B (2; 1), С (2; 8);

Решение. а) Уравнения сторон будем искать как уравнения прямых, проходящих через (две) вершины. Найдём уравнение стороны AB:

= Û = ,

то есть = - уравнение стороны AB (в каноническом виде). Напишем уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB. Ясно, что вектор =(1; -3) является направляющим для этой прямой. Поэтому её уравнение: = .

Напишем уравнение высоты, опущенной из вершины C. Эта высота перпендикулярна стороне AB, то есть вектор является нормалью для этой высоты. Поэтому её уравнение x +2-3(y +8)=0 Û x -3 y -22=0.

Длину высоты h_c, опущенной из вершины C будем искать как расстояние от точки C до прямой AB. Для этого уравнение прямой AB приведём к общему виду:

= Û -3(x -3)= y -2 Û -3 x - y +11=0 Û 3 x + y -11=0.

Тогда

h_c = r (C, AB)= = = .

Аналогично находятся остальные прямые и длины высот (требуемые по условию задачи) (довести до конца!)

Ответ: а) = , 3 x + y -11=0 - уравнения стороны AB;

= - уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

x -3 y -22=0 - уравнение высоты, опущенной из вершины C;

- длина высоты, опущенной из вершины C.