Линейная зависимость векторов

2.1. Понятие линейной зависимости. Пусть V – линейное пространство над R,{ a ₁, a ₂, …, a_n } – произвольное множество векторов из V, a ₁, a ₂, …, a_k - некоторые числа.

2.1.1. Определение. Выражение

a ₁ a ₁+ a ₂ a ₂+…+ a_ka_k (2.1.1)

называется линейной комбинацией векторов a ₁, a ₂, …, a_k. При этом a ₁, a ₂, …, a_k - коэффициенты соответственно приa ₁, a ₂, …, a_n.

Например, если a ₁= , a ₂= , a ₃= , a ₄= , то в силу

a ₁ a ₁+ a ₂ a ₂+ a ₃ a ₃+ a ₄ a ₄= a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ =

= + + + =

=

их линейной комбинацией является матрица

.

2.1.2. Определение. Система векторов

a ₁, a ₂, …, a_k (2.1.2)

называется линейно независимой, если из того, что

a ₁ a ₁+ a ₂ a ₂+…+ a_ka_k =0 _V (2.1.3)

следует α ₁= α ₂=…= α_k =0. В противном случае, система (2.1.2) называется линейно зависимой. Другими словами

2.1.3. Определение. Система векторов (2.1.2) называется линейно зависимой если равенство (2.1.3) возможно при некоторых, не всех равных нулю, a ₁, a ₂, …, a_k (или, другими словами, если существуют не все равные нулю a ₁, a ₂, …, a_k такие, что выполняется равенство (2.1.3)).

Например, система векторов a ₁= , a ₂= , a ₃= , a ₄= (линейного пространства M _2´2(R)) является линейно независимой, а система a ₁= , a ₂= , a ₃= , a ₄= , a ₅= - линейно зависимая.

Действительно, составим для a ₁, a ₂, a ₃, a ₄ равенство (2.1.3): a ₁ a ₁+ a ₂ a ₂+ a ₃ a ₃+ a ₄ a ₄=0 _V. Оно равносильно равенству

= , (2.1.4)

(в силу выписанной выше линейной комбинации матриц a ₁, a ₂, a ₃, a ₄). Равенство (2.1.4) равносильно системе уравнений

которая в свою очередь равносильна системе

(первое уравнение вычли из второго, второе - из третьего, третье - из четвёртого), откуда a ₁= a ₂, a ₂= a ₃, a ₃= a ₄, то есть a ₁= a ₂= a ₃= a ₄, подставляя которое в первое уравнение, получаем 5 a ₁=0, то есть a ₁=0. Но тогда a ₁= a ₂= a ₃= a ₄=0, и матрицы a ₁, a ₂, a ₃, a ₄ (векторы в M _2´2(R)) линейно независимы.

Для доказательства линейной зависимости векторов a ₁= , a ₂= , a ₃= , a ₄= , a ₅= составим для них равенство (2.1.3): a ₁ a ₁+ a ₂ a ₂+ a ₃ a ₃+ a ₄ a ₄+ a ₅ a ₅=0 _V, которое приводит к аналогу равенства (2.1.4):

= ,

равносильного системе

которая в свою очередь равносильна системе

(снова первое уравнение вычли из второго, второе - из третьего, третье - из четвёртого), откуда a ₁= a ₂, a ₂= a ₃, a ₃= a ₄, то есть a ₁= a ₂= a ₃= a ₄, подставляя которое в первое уравнение, получаем 5 a ₁+10 a ₅=0, то есть a ₁=-2 a ₅. Положим a ₅=1. Тогда a ₁= a ₂= a ₃= a ₄=-2, и равенство (2.1.3) для a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, a ₅ принимает вид -2 a ₁-2 a ₂-2 a ₃-2 a ₄+ a ₅=0 _V. Это означает, что a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, a ₅ линейно зависимы (существуют не все равные нулю a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, a ₅; точнее, ни один коэффициент при a_i (i =1, 2, 3, 4, 5) не равен нулю).

2.1.4. Определение. Выражение (2.1.3) называется линейной зависимостью между векторами a ₁, a ₂, …, a_k. Найти зависимость между векторамиa ₁, a ₂, …, a_k - это значит найти a ₁, a ₂, …, a_k, не все равные нулю, в выражении (2.1.3).

Так, -2 a ₁-2 a ₂-2 a ₃-2 a ₄+ a ₅=0 _V - линейная зависимость между векторами a ₁= , a ₂= , a ₃= , a ₄= , a ₅= .

2.2. Простейшие свойства линейной зависимости.

2.2.1. Теорема ( о простейших свойствах линейной зависимости ). Линейная зависимость векторов обладает следующими свойствами:

1º. Система из одного ненулевого вектора линейно независима.

2º. Система векторов, содержащая нулевой, линейно зависима.

3º. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор этой системы является линейной комбинацией остальных.

Именно, если a ₁, a ₂, …, a_k линейно зависимы, то существуют не все равные нулю числа a ₁, a ₂, …, a_k такие, что имеет место равенство (2.1.3). Тогда те векторы a_i, коэффициенты при которых не равны нулю (a_i ≠0), являются линейными комбинациями остальных. Например, если a ₁≠0, то a ₁= a ₂ a ₃-… a_k, то есть a ₁ является линейной комбинацией остальных векторов a ₂, a ₃, …, a_k.

Так, для векторов a ₁= , a ₂= , a ₃= , a ₄= , a ₅= имеем a ₅=2 a ₁+2 a ₂+2 a ₃+2 a ₄, или a ₁=- a ₂- a ₃- a ₄ a ₅, и, вообще, a_i =- a_k - a_l - a_m a ₅, где { i, k, l, m }={1, 2, 3, 4}.