Полярная система координат

2.1.1. Возьмём положительное направление оси Ox вместе с началом координат. Тогда положение любой точки A, отличной от O, однозначно определяется парой (r, j), где r - расстояние от точки O до точки A (r =| OA |), j - угол между положительным направлением Ox и лучом OA, - p < j £ p (угол измеряется, как правило, в радианах, но это не совсем обязательно) (рис. 2.1).

При этом предполагается, что измерение угла, как обычно, производится так, что j >0, если измерение производится против часовой стрелки, и j <0, если измерение производится по часовой стрелки.

Пара (r, j) называется полярными координатами точки A, r - полярный радиус, j - полярный угол, O - полярный полюс, а луч Ox - полярная ось.

Как и в прямоугольной декартовой системе координат, запись A (r, j) означает, что точка A имеет полярные координаты (r, j).

2.1.2. При изображении положения точки A относительно полярной системы координат ось Oy не изображается, а у оси Ox изображается только положительная полуось без стрелки. Для того, чтобы построить точку A (r, j) достаточно провести луч OK под углом j от луча Ox и отложить точку A на расстоянии r от точки O.

Пример 1. Построить точку A .

Решение. Проведём луч OK под углом j = от луча Ox и отложим точку A на расстоянии r =3 от точки O.

2.1.3. Существует очевидная связь между прямоугольной декартовой и полярной системами координат:

(2.1.1)

Эта связь легко усматривается из простых геометрических соображений. Действительно, если точка A задана своими полярными и прямоугольными координатами - A (r, j) и А (x_A, y_A), то x_A = r cos j, y_A = r sin j (рис. 2.2).

Эту связь можно выразить иначе:

(2.1.2)

Примеры. 2) Дана точка A своими полярными координатами. Найдём её прямоугольные координаты. По формулам (2.1.1) имеем x_A =3cos =3× = , y_A =3sin =3× = , то есть - прямоугольные координаты точки A.